Всеволод Беллюстин - Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Дѣйствительно, остатокъ отъ 370:9 будетъ 1, отъ 581 остатокъ будетъ 5 и отъ суммы данныхъ чиселъ, т.-е. отъ 951, остатокъ будетъ тоже 5+1 = 6 (иногда, впрочемъ, изъ суммы остатковъ приходится выкидывать одну или нѣсколько девятокъ, напр., если бы слагаемыми были 375 и 581, то сумма остатковъ составила бы 11. а остатокъ суммы равнялся бы 2, т.-е. 11—9). Эти числа 1, 5, 6 носятъ названіе повѣрочныхъ чиселъ, слѣд. 1 будетъ повѣрочнымъ числомъ для 370-ти, 5 для 581 и 6 для 951. Огсюда ясно вытекаетъ правило: повѣрочное число суммы равно суммѣ повѣрочныхт чиселъ всѣхъ слагаемыхъ. Точно также при вычитаніи: повѣрочное число разности соотвѣтствуетъ разности повѣрочныхъ чиселъ уменынаемаго и вычитаемаго; или иначе: повѣр. число уменьшаемаго равно суммѣ повѣрочныхъ чиселъ вычитаемаго и разности. При умноженіи правило такое: повѣр. число произведенія соотвѣтствуетъ произведенію повѣр. чиселъ множителей; и, наконецъ, при дѣленіи новѣр. число дѣлимаго со-отвѣтствуетъ произведенію повѣрочныхъ чиселъ дѣлителя и частнаго.

За исключеніемъ сложенія, при каждомъ дѣйствіи имѣется 4 по-вѣрочныхъ числа, и они, обыкновенно, располагались такъ, что получалась фигура косого креста. Примѣръ: 525 раздѣлить на 15, получится въ частномъ 35. Тогда повѣрка представляется слѣдующимъ крестомъ:

\ 3 /

6 \ / 8

/ \

/ 3 \

Нѣкоторые математики, приверженцы совершенной точности и полной безошибочности, находили, что повѣрка числомъ 9 далеко не безупречна и можетъ повести къ ошибкамъ. Зависѣть онѣ могутъ отъ такихъ причинъ. Во-первыхъ, различныя по величинѣ числа, но только отличающіяся другъ отъ друга на цѣлое число девятокъ, имѣютъ повѣрочныя числа одинаковыя; напр., числа 172 и 1081. Во-вторыхъ, этой повѣркой нельзя открыть пропуска нулей или же излишка нулей: числа 105, 1050, 15 даютъ одинаковыя повѣрочныя числа. Въ третьихъ, перестановка цифръ точно также не можетъ быть открыта этой повѣркой, такъ какъ, напр., числа 78932 и 87932 даютъ одинаковыя повѣрочныя числа. Итакъ, повѣрка числомъ 9 ненадежна. Поэтому, лучшіе авторы XVI—XVII в. рекомендуютъ еще повѣрку числомъ 7. Она основана на томъ же, на чемъ и предыдущая, и слѣд. при ней изъ данныхъ и иекомыхъ чиселъ выкидываютъ возможное число семерокъ, а съ остатками поступаютъ точно такимъ же образомъ, какъ и при повѣркѣ числомъ 9. Въ этомъ случаѣ ужъ можно обнаружить и перестановку цифръ, и пропускъ нулей.

Казалось бы, что вполнѣ достаточно повѣрки числомъ 9 и числомъ 7 для того, чтобы можно было успокоиться и убѣдиться, что отвѣтъ вѣренъ. Но нѣтъ, Рудольфъ и Апіанъ (въ XVI ст.) объясняютъ, что повѣрять можно такимъ же путемъ, какъ и выше, еще съ помощью чиеелъ 8, 4, 6.

Фишеръ (въ 1559 г.) провѣряетъ свои вычисленія числами 5, 6, 7, 8, 9, 11.

Но такое большое количество искусственныхъ повѣрокъ приводило многихъ авторовъ прямо къ отрицанію ихъ необходимости и пользы. Петръ Рамусъ, извѣстный французскій ученый и математикъ (ум. 1572 г.), говоритъ, что всѣ эти ухищренія излишни и ненужны, и что если кому требуется повѣрить дѣйствіе, то пусть онъ передѣлаетъ его снова и больше ничего; такъ будетъ лучше и въ томъ отношеніи, что, передѣлывая снова, мы можемъ не только открыть присутствіе ошибки, но и исправить ее.

Лука де-Бурго смотритъ на дѣло хладнокровнѣе. Онъ не отрицаетъ совершенно провѣрки, но только совѣтуетъ дѣлать ее, по возможности, проще. Именно онъ указываетъ для этого 2 способа. Во-первыхъ, можно то же дѣйствіе произвести еще разъ и только измѣнить его порядокъ, напр., при сложеніи нѣсколькихъ чиселъ, если мы сперва складывали сверху внизъ, то потомъ надо пересложить снизу вверхъ. Во-вторыхъ, всякое дѣйствіе повѣряется своимъ обратнымъ: вычитаніе сложеніемъ, дѣленіе умноженіемъ и т. п.

Всѣ предыдущія объясненія, которыя изложены до настоящей главы, касались счета и вычисленій, т.-е. тѣхъ умственныхъ отправленій человѣка, которыя составляютъ наиболѣе характерную и общую черту его природы.

Дѣйствительно, потребность считать привадлежитъ всѣмъ людямъ и составляетъ необходимую часть ихъ мышленія. Поэтому естественно, что и проявленіе этой всеобщей потребности и присущей всѣмъ способности тоже носитъ въ себѣ много общаго и неизмѣннаго у всѣхъ народовъ и во всѣ времена. Въ счетѣ и вычисленіи нѣтъ мѣста произволу и очень мало мѣста для свободнаго выбора: все совершается по общему закону, предустановленному психической организацею человѣка. Не то мы видимъ въ измѣреніи и оеобенно въ выборѣ мѣръ. Вотъ ужъ именно «что городъ, то норовъ, что деревня, то обычай!» Каждое маленькое государство, каждый хоть немножко самостоятельный народъ, каждый городъ, каждый уголокъ стремится измѣрять своими мѣрами, да и тѣ еще успѣваетъ перемѣнить нѣсколько разъ съ теченіемъ времени. Прослѣдимъ вкратцѣ эту измѣнчивость мѣръ и постараемся извлечь изъ нея тѣ немногія руководящія основанія, которымъ подчиняется выборъ мѣръ, а для этого возьмемъ отъ каждаго народа то, что болѣе всего примѣчательно.