Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения

7. Распиливание куба. Один плотник решил распилить кубик размером 3 х 3 х 3 см на 27 кубиков с ребром в 1 см. Это делается очень просто: надо распилить куб по шести плоскостям, не разнимая его при этом на куски (рис. 14).

Рис. 14 Распиливание куба.

Можно ли уменьшить число распилов, если после каждого из них складывать отпиленные части по-новому?

8. Ранний пассажир.Один человек, имеющий сезонный билет, привык каждый вечер приезжать на станцию ровно в пять часов. Его жена всегда встречает этот поезд, чтобы увезти мужа домой на машине. Однажды этот человек приехал на свою станцию в 4 ч. Стояла хорошая погода, поэтому он не стал звонить домой и пошел пешком по той дороге, по которой обычно ездила его жена. Встретив по пути жену, он сел в машину, и супруги приехали домой на 10 мин раньше обычного. Предположим, что жена всегда ездит с одной и той же скоростью, обычно выезжая из дому точно в одно и то же время, чтобы успеть к пятичасовому поезду. Можно ли определить, сколько времени муж шел пешком, пока его не подобрала машина?

9. Фальшивые монеты. Огромный интерес вызывают задачи со взвешиванием монет или шаров. Вот одна удивительно простая задача этого типа. Имеется 10 кучек монет (рис. 15), по 10 монет в каждой.

Рис. 15 Обнаружение кучки фальшивых монет.

Одна из кучек целиком состоит из фальшивых монет, но какая именно — неизвестно. Известен лишь вес настоящей монеты, и, кроме того, установлено, что каждая фальшивая монета на один грамм тяжелее, чем нужно. Монеты можно взвешивать на пружинных весах. Какое минимальное число взвешиваний необходимо произвести, чтобы отыскать кучку, целиком состоящую из фальшивых монет?

Ответы

1. Есть ли на глобусе какая-нибудь точка, кроме Северного полюса, выйдя из которой можно пройти один километр на юг, один километр на восток и один километр на север и оказаться на прежнем месте? Конечно, есть, и не одна, а бесконечное множество таких точек! Можно выйти из любой точки окружности, проведенной вокруг Южного полюса на расстоянии, чуть большем километра — примерно 1,16 км (1 + 1/2π). Расстояние должно быть «чуть больше», чтобы учесть кривизну Земли. Пройдя километр на юг, а затем километр на восток, вы опишете вокруг полюса полную окружность. Пройдя еще километр на север, вы окажетесь там, откуда вышли. Следовательно, исходной точкой вашего маршрута может быть бесконечное множество точек, заполняющих окружность, центр которой совпадает с Южным полюсом, а радиус примерно равен 1,16 км. Но это еще не все. Свой путь вы можете начинать и в точках окружностей меньшего радиуса, специально подобранного так, чтобы, идя на восток, вы описывали вокруг Южного полюса два, три и т. д. оборота.

2. Существует 88 наборов карт, обеспечивающих выигрыш первому игроку. Они делятся на две категории:

а) четыре десятки и любая пятая карта (всего 48 наборов);

б) три десятки и любая из следующих пяти пар, масть которых не совпадает с мастями выбранных десяток: туз — девятка, король — девятка, дама — девятка, валет — девятка, король — восьмерка, дама — восьмерка, дама — семерка, валет — семерка, валет — шестерка (всего 40 наборов).

На вторую категорию наборов мое внимание обратили Ч. Фостер и К. Пейперс. Я никогда не встречал эти пятерки карт в опубликованных ранее решениях.

3. Разместить 31 кость домино на доске, у которой вырезаны два угловых квадрата на противоположных концах диагонали, невозможно. Доказательство этого факта неожиданно просто. Две диагонально противоположные клетки должны быть одного цвета.

Поэтому, если их вырезать, клеток одного цвета на доске останется на две больше, чем другого. Каждая кость домино может прикрыть два квадрата разного цвета, поскольку только такие квадраты примыкают друг к другу. После того как 30 костей закроют 60 клеток доски, свободными останутся два квадрата одинакового цвета. Они не могут находиться рядом, и поэтому их нельзя прикрыть последней костью домино.

4. Потребуем, чтобы вопрос был таким, на который можно ответить только «да» или «нет». Тогда существует несколько решений, опирающихся на одну и ту же хитрость. Пусть, например, логик указал на одну из дорог и спросил туземца: «Если бы я вас спросил, ведет ли эта дорога в деревню, вы бы сказали «да»? В этом случае туземец вынужден сказать правду, даже если он лжец! Если дорога ведет в деревню, лжец должен ответить «нет», но из-за постановки вопроса он, говоря неправду, отвечает, что он бы сказал «да». Таким образом, логик может быть уверен, что дорога ведет в деревню, независимо от того, кто перед ним — лжец или правдивый человек. С другой стороны, если на самом деле дорога не ведет в деревню, лжец по тем же соображениям вынужден ответить «нет».