О. ОРЕ: Приглашение в теорию чисел

О магических квадратах Б. Франклина стало известно, когда один из его старых друзей, Логан, показал ему несколько книг о магических квадратах, заметив при этом, что не верит в то, что кто-либо из англичан мог бы сделать что-либо замечательное в этой области.

«Логан показал мне в одной из этих книг несколько необычных и довольно любопытных случаев, но ни один из них не мог сравниться с теми, которые, как я помню, были сделаны мною. Он попросил меня показать их. И в следующее свое посещение я принес ему квадрат 8 × 8, который я нашел среди своих старых бумаг и который я предлагаю вам с описанием его свойств» (рис. 10).

Рис. 10.

Б. Франклин упоминает только некоторые свойства своего квадрата. Мы предлагаем читателю найти и другие его свойства. Например, очевидно, что s равняется 260, а сумма чисел в каждой половине любой строки и в каждой половине любого столбца равняется 130, что составляет половину от 260. Четыре числа, стоящие в углах, в сумме с четырьмя числами, стоящими в центре квадрата, дают 260; сумма чисел по наклонному ряду, идущему от числа 16 вправо-вверх до числа 10, а далее по наклонному ряду, идущему, от числа 23 вправо-вниз до числа 17 равна 260. То же самое верно для каждого ряда из восьми чисел, параллельного описанному выше.

«Потом Логан показал мне старую книгу по арифметике, изданную в формате кварто [4] Формат кварто — формат в 1/4 долю листа, т. е. 450 мм × 300 мм. ( Прим. перев. ) и написанную, я думаю, неким Штифелем (Михаил Штифель, «Arithmetica integra», Нюренберг, 1544). В этой книге был помещен квадрат 16 × 16, в который, по его мнению, был вложен колоссальный труд. Но если я не ошибаюсь, он имел лишь обычное свойство, т. е. обладал постоянной суммой, равной 2056 в каждом ряду: горизонтальном, вертикальном и диагональном.

Не желая уступить Штифелю даже в размерах квадрата, я, вернувшись домой, в тот же вечер составил квадрат 16 × 16, который помимо всех свойств моего квадрата 8 × 8, т. е. наличия постоянной суммы 2056 во всех аналогичных рядах и диагоналях, имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4 × 4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 квадратиков большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма 16 чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее ни положили, на большом квадрате будет одна и та же, и равна тому же самому числу 2056».

Магический квадрат Б. Франклина перед вами (рис. 11) и вы можете сами проверить его замечательные свойства.

Рис. 11.

Б. Франклин по праву гордился своим творением, что видно из продолжения его письма: «На следующее утро я послал этот квадрат нашему другу, который через несколько дней вернул его в ответном письме со следующими словами: „Я возвращаю тебе твой удивительный, а может быть, самый изумительный магический квадрат, в котором…", но этот комплимент слишком экстравагантен, и поэтому ради него, а также ради самого себя, мне не следует его повторять. К тому же это и необязательно, так как я не сомневаюсь, что вы охотно согласитесь, что этот квадрат 16 × 16 является самым магически-магическим из всех магических квадратов, составленных когда-либо каким-либо магом». Более подробные сведения о построении магических квадратов можно найти в книгах: Е. Я. Гуревич. Тайна древнего талисмана. — М.: Наука, 1969 и И. М. Постников. Магические квадраты. — М.: Наука, 1964.

Система задач 1.5.

1. Мог ли Дюрер использовать вместо своего квадрата, изображенного на рис. 9, какие-либо другие квадраты, в которых тот же год фигурировал таким же образом?

2. Дюрер прожил до 1528 г. Смог ли бы он датировать какую-нибудь из своих более поздних картин таким же способом?

Рис. 12. Репродукция магического круга Франклина. Оригинал, выполненный в цвете, был продан частному коллекционеру на аукционе в Нью-Йорке.

3. Изучите некоторые свойства магического круга Б. Франклина (рис. 12).

Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителя, например,