О. ОРЕ - Приглашение в теорию чисел

q = α 1+ 1, т. е. α 1 = q — 1 и n = р 1 q -1;

наименьшим из таких чисел является

n = 2 q -1.

Рассмотрим следующий случай, когда существует ровно 4 делителя. Тогда соотношение

4 = ( α 1+ 1) ( α 2+ 1),

возможно только тогда, когда

α 1= 3, α 2= 0 или α 1= α 2= 1.

Это приводит к двум возможностям:

n = p 1 3, n = p 1 p 2;

наименьшее число с 4 делителями — это n = 6.

В том случае, когда имеется 6 делителей, должно выполняться соотношение

6 = ( α 1+ 1) ( α 2+ 1),

что возможно лишь тогда, когда

α 1= 5, α 2= 0 или α 1= 2, α 2= 1.

Это дает две возможности:

n = p 1 5, n = p 1 2 p 2;

при этом наименьшее значение имеет место в последнем случае, когда

p 1= 2, p 2= 3, n =12.

Этот метод можно использовать для вычисления наименьших натуральных чисел, имеющих любое заданное количество делителей.

Существуют таблицы, указывающие количество делителей для различных чисел. Они начинаются следующим образом:

Вы легко можете ее самостоятельно продолжить.

Будем говорить, что натуральное число n является сверхсоставным , если количество делителей у каждого числа, меньшего n , меньше, чем количество делителей у числа n . Глядя на нашу небольшую таблицу, мы видим, что

1, 2, 4, 6, 12

являются первыми пятью сверхсоставными числами. О свойствах этих чисел известно еще очень мало.

Система задач 3.3.

1. Взвод из 12 солдат может маршировать 6-ю различными способами: 12 × 1, 6 × 2, 4 × 3, 3 × 4, 2 × 6, 1 × 12. Какую наименьшую численность должны иметь группы людей, которые могут маршировать 8, 10, 12 и 72 способами?

2. Найдите наименьшие натуральные числа, имеющие: а) 14 делителей, б) 18 делителей ив) 100 делителей.

3. Найдите два первых сверхсоставных числа, следующих за числом 12.

4. Охарактеризуйте все натуральные числа, количество делителей которых является произведением двух простых чисел.

Нумерология (или гематрия, как ее иногда еще называют) была распространенным увлечением у древних греков. Естественным объяснением этому является то, что числа в Древней Греции изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число. Люди могли сравнивать свойства чисел, соответствующих их именам.

Делители или аликвотные части [6] Аликвотные дроби — дроби вида 1/ n; в древности было принято всякую дробь представлять в виде суммы аликвотных дробей. Например, 5/12 = 1/12 + 1/3. ( Прим. перев .) чисел играли важную роль в нумерологии. В этом смысле идеальными, или, как их называют, совершенными числами являлись такие числа, которые составлялись из своих аликвотиых частей, т. е. равнялись сумме своих делителей. Здесь следует отметить, что древние греки не включали само число в состав его делителей.

Наименьшим совершенным числом является 6:

6 = 1 + 2 + 3.

За ним следует число 28:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,

далее число 496:

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Часто математик, увлеченный решением какой-либо проблемы и имеющий одно или несколько частных решений этой задачи, пытается найти закономерности, которые смогли бы дать ключ к нахождению общего решения. Указанные нами совершенные числа могут быть записаны в виде

6 = 2 3 = 2(2 2— 1),

28 = 2 2 7 = 2 2(2 3— 1),

496 = 24 31 = 2 4(2 5— 1).

Это наталкивает нас на гипотезу:

Число является совершенным, если оно представляется в виде

Р = 2 p -1(2 p — 1) = 2 рq , (3.4.1)

где

q = 2 p — 1

является простым числом Мерсенна.

Этот результат, известный еще грекам, несложно доказать. Делителями числа Р , включая само число Р , очевидно, являются следующие числа:

1, 2, 2 2…, 2 р-1,

q , 2 q , 2 2 q …, 2 р-1 q .

Запишем сумму этих делителей

1 + 2 +… + 2 р -1+ q (1 + 2 +… + 2 р -1),

которая равна

(1 + 2 +… + 2 р -1)( q + 1) = (1 + 2 +… + 2 р -1) 2 р

Если вы не помните формулы для суммы членов геометрической прогрессии,

S = 1 + 2 +… + 2 р -1,

то умножьте эту сумму на 2:

2 S = 2 + 2 2+… +2 р -1+ 2 р ,

а затем, вычтя S , получите

S = 2 p — 1 = q .

Таким образом, сумма всех делителей числа Р есть

2 p q = 2 • 2 p -1 q,