Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Не меньший интерес, чем астрономия и механика, вызвала оптика. Основы этой науки также были заложены греками. Почти все греческие философы, начиная с пифагорейцев, строили умозрительные заключения о природе света, зрения и цвета, но нас интересуют математические достижения в этой области. Первым было априорное утверждение Эмпедокла (около 490 г. до н.э.) из Агригента — города на острове Сицилия — о том, что свет распространяется с конечной скоростью. Хронологически первыми систематическими исследованиями света, сохранившимися до нашего времени, стали сочинения Евклида «Оптика» и «Катоптрика» {12}. В «Оптике» Евклид рассматривает проблемы зрения и использования зрения для определения размеров различных предметов. В «Катоптрике» (теории зеркал) показано, как ведут себя лучи света при отражении от плоских, выпуклых и вогнутых зеркал и как ход лучей сказывается на том, что мы видим. Как и «Оптика», «Катоптрика» начинается с определений, которые в действительности являются постулатами. Теорема I (аксиома в современных учебниках и монографиях), играющая основополагающую роль в геометрической оптике известна как закон отражения. Она утверждает, что угол α образуемый с поверхностью зеркала лучом света, падающим на зеркало из точки P, равен углу, образуемому с поверхностью зеркала отраженным лучом (рис. 1.6). Евклид также установил закон падения для луча, падающего на выпуклое и вогнутое зеркала: в точке касания Евклид заменил зеркало касательной плоскостью R (рис 1.7) «Оптика» и «Катоптрика» — сочинения математические не только по содержанию, но и по своей структуре. Основное место в них, как и в «Началах» Евклида, отводится определениям, аксиомам и теоремам.

Рис. 1.6.Отражение от плоского зеркала.

Рис. 1.7.Отражение от выпуклого зеркала.

Математик и инженер Герон (I в.) вывел из закона отражения важное следствие. Если P и Q на рис. 1.6 — любые две точки, расположенные по одну сторону от прямой ST, то из всех путей, ведущих из точки P к прямой ST, a затем к точке Q, кратчайший соответствует такому положению точки R, при котором отрезки прямых PR и QR образуют с прямой ST равные углы. Следовательно, луч света, идущий из точки P к зеркалу и затем к точке Q, распространяется по кратчайшему пути. Отсюда ясно, что природа весьма «сведуща» в геометрии и использует ее с наибольшей пользой. Теорема, которую мы только что воспроизвели, заимствована нами из «Катоптрики» Герона, где рассмотрено также отражение луча света от вогнутых и выпуклых зеркал, а также от комбинаций зеркал.

Об отражении света от зеркал различной формы было написано великое множество работ. Среди ныне безвозвратно утерянных сочинений — «Катоптрика» Архимеда, «О зажигательном зеркале» Аполлония (около 190 г. до н.э.) и «О зажигательных зеркалах» Диоклеса (около 190 г. до н.э.). Зажигательные зеркала были вогнутыми и имели форму сферического сегмента параболоида вращения (поверхности, образованной вращением параболы вокруг ее оси) и эллипсоидов вращения. Аполлонию было известно, а в книге Диоклеса содержалось доказательство, что параболическое зеркало, отражая свет от источника света, помещенного в его фокусе, собирает лучи в пучок, параллельный оси зеркала (рис. 1.8). Наоборот, если пучок падающих лучей направить параллельно оси параболического зеркала, то после отражения лучи соберутся в фокусе. Собранные в фокусе солнечные лучи вызывают резкий разогрев и способны зажечь помещенный в фокусе горючий материал, откуда и название — зажигательное зеркало. По преданию, Архимед, воспользовавшись этим свойством зажигательных зеркал, сконцентрировал солнечные лучи на римских судах, блокировавших с моря его родной город Сиракузы, и поджег неприятельский флот. Аполлонию были известны отражательные свойства и других конических сечений. Он знал, например, что все лучи, выходящие из одного фокуса эллиптического зеркала, после отражения собираются в другом фокусе. В книге III «Конических сечений» приведены соответствующие геометрические свойства эллипса и гиперболы.

Рис. 1.8.Отражение от параболического зеркала.