Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

И наконец, комплексным сопряжением комплексного числа называется его зеркальное отображение относительно вещественной оси. Комплексное сопряжение числа a + bi есть a − bi . Обозначается оно как z', что произносится как «зет-с-чертой». {2} Если перемножить комплексное число с его сопряженным, то получится вещественное число: (a + bi)×(a − bi) = a 2 + b 2, что, как видно, есть квадрат модуля числа a + bi . На этом и основан фокус, позволяющий делить комплексные числа. Используя введенные обозначения, можно записать z×z' = |z| 2, а фокус с делением выражается как z/w = (z×w')/|w| 2 .

Модуль комплексного числа −2,5 + 1,8 i , показанного на рисунке 11.2, равен √9,49, то есть около 3,080584, фаза составляет 2,517569 радиана (или, если вам так больше нравится, 144,246113 градуса), а сопряженное число, конечно, есть −2,5 − 1,8 i .

Чтобы продемонстрировать комплексную плоскость в действии, я чуть-чуть потренируюсь в анализе с комплексными числами. Рассмотрим бесконечный ряд из выражения (9.2):

Поскольку здесь не предпринимается никаких действий, кроме сложения, умножения и деления чисел, нет причин, по которым x нельзя было бы сделать комплексным числом. Работает ли эта формула для комплексных чисел? Да, при определенных условиях. Пусть, например, x равен 1/ 2 i . Тогда ряд сходится. Имеем

Левая часть вычисляется с помощью рассмотренного выше фокуса с делением как 0,8 + 0,4 i . Правую часть можно упростить, используя тот факт, что i 2 = −1:

Можно пройти правую часть этой формулы на комплексной плоскости. Идея видна из рисунка 11.3. Начнем из точки 1 (которая, разумеется, расположена на вещественной оси). Оттуда идем на север, что соответствует прибавлению 1/ 2 i . Затем на запад на 1/ 4потом на юг в соответствии с вычитанием 1/ 8 i и т.д. Получается спираль, замыкающаяся на комплексном числе 0,8 + 0,4 i . Вот вам анализ в действии — бесконечный ряд сходится к этому пределу.

Рисунок 11.3.Анализ на комплексной плоскости.

Заметим, что при переходе к комплексным числам мы потеряли простоту одного измерения, но зато приобрели некоторые преимущества наглядности. При наличии в нашем распоряжении двух измерений можно, как мы только что это и делали, демонстрировать математические результаты в виде замечательных наглядных образов и картинок. В этом до известной степени и состоит привлекательность комплексного анализа (для меня, во всяком случае). В главе 13 мы сможем увидеть дзета-функцию Римана (и саму великую Гипотезу!), выраженную в виде изящных узоров на комплексной плоскости.

Давиду Гильберту было 38 лет, когда утром в среду 8 августа 1900 года он выходил к трибуне 2-го международного конгресса математиков. Сын судьи из столицы Восточной Пруссии Кенигсберга [94], он прославился как математик за 12 лет до того, решив проблему Гордана в теории алгебраических инвариантов.

То был не просто succès d'estime, но до некоторой степени и succès de scandale. [95]Гильберт смог доказать существование объектов, но при этом не сконструировал их, не предложил даже метода для их построения. Математики говорят о таком как о «доказательстве существования». В своих лекциях Гильберт использовал следующий бытовой пример: «Среди вас имеется по крайней мере один студент — назовем его X , — в отношении которого верно следующее утверждение: ни у одного другого студента в аудитории нет на голове большего числа волос, чем у X . Кто этот студент? Этого мы никогда не узнаем; но в его существовании мы можем быть абсолютно уверены». Доказательства существования довольно распространены в современной математике и в наше время не вызывают особых возражений. Другое дело — Германия 1888 года. Лишь за год до того Леопольд Кронеккер, уважаемый член Берлинской академии наук, выступил с манифестом «О концепции числа», в котором сделал попытку изгнать из математики то, что он считал ненужным уровнем абстракции — все, по его мнению, что нельзя вывести из целых чисел за конечное число шагов. Гордан сам отозвался о гильбертовом доказательстве существования фразой, ставшей знаменитой: «Это не математика. Это теология».