Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

(Примеч. перев.)

«Овал» — легендарное поле для игры в крикет в лондонском Кеннингтоне. Игрок выбит, если мяч попал в калитку, когда хотя бы один из бегущих игроков находился между калитками (игрок тогда считается «bowled out») или если игрок подающей команды поймал мяч после того, как игрок бьющей команды коснулся мяча битой, но до удара мяча о землю (игрок считается «cought out»). Иннинг заканчивается, когда выбиты 10 игроков бьющей команды. (Цифра в 211 пробежек колоссально велика при любой схеме подсчета числа пробежек без выбывания). Тест-матч играется по правилам, делающим встречу самым долгим соревнованием в крикете. На два иннинга обычно отводится 5 дней. (Примеч. перев.)

Так всегда говорится. Правда, Александерсон в книге о Джордже Пойа утверждает, что дома у Пойа их много больше.

Хотя на корешке моего экземпляра (первого издания) написано просто Primzahlen.

«О нулях функции Римана ζ(s) ». Упоминаемая чуть ниже статья Литлвуда: «О распределении простых чисел». (Примеч. перев.)

Разумеется, предпочтительнее знать точный ответ; но речь идет о том, что часто удается доказать лишь менее строгое ограничение. (Примеч. перев.)

В задачах такого типа имеются еще и нижние границы. Нижняя граница — это такое число N , для которого можно доказать, что, каков бы ни был точный ответ, он заведомо больше, чем N . В случае с литлвудовым нарушением, похоже, сделано куда меньше — можно думать, из-за того, что все знают, что точное значение числа, при котором происходит первое нарушение, необычайно велико. Делеглиз и Риват в 1996 г. установили в качестве нижней границы 10 18, а позднее довели нижнюю границу до 10 20, однако ввиду результата Бейса и Хадсона подобные нижние границы почти ничего не значат.

Если имена Бейса и Хадсона кажутся знакомыми, то это из-за того, что они упоминались в главе 8.iv в связи с отклонением Чебышева. На самом деле на очень глубоком уровне, определенно слишком глубоком, чтобы здесь о нем говорить, имеется родство между тенденцией функции Li (x) быть больше, чем π(x) , и чебышевскими отклонениями. В теории чисел эти два вопроса обычно рассматриваются совместно. В действительности в работе Литлвуда 1914 г. показано не только, что тенденция функции Li (x) быть больше, чем π(x) , нарушается бесконечно много раз, но и что тоже самое верно для чебышевских отклонений. По поводу некоторых недавних. весьма впечатляющих и глубоких результатов по этому вопросу см. статью Майкла Рубинстейна и Питера Сарнака Chebyshev's bias в журнале: Experimental Mathematics . 1994. Vol. 3. P. 173-197.

Читателям популярной литературы по математике фон Кох более известен благодаря «кривой Коха». В этом контексте всегда опускают «фон» — ума не приложу, почему. (Кривая Коха — фрактальная кривая, которая нигде не имеет касательной, хотя всюду непрерывна. Три копии кривой Коха, расположенные вдоль сторон правильного треугольника, образуют «снежинку Коха». — Примеч. перев. )

Или не зная о книге Бахманна, или же (что более вероятно) просто решив не использовать новое обозначение с Ο большим, фон Кох на самом деле выразил свои результат в более традиционном виде:

В этой области ведется немало исследований. Весьма вероятно, что на самом деле π(x) = Li (x) + Ο ( √x ), что, возможно, и имел в виду Риман в своем замечании насчет «порядка величины». Однако мы ни в какой мере не близки к доказательству этого факта. Некоторые исследователи, между прочим, предпочитают обозначение Ο ε ( x 1/2+ ε ), чтобы подчеркнуть, что постоянная, подразумеваемая в определении О большого, зависит от ε . Если использовать это обозначение, то логика раздела 15.iii слегка изменяется. Заметим, что квадратный корень из N примерно в два раза короче (я имею в виду, что он содержит примерно в два раза меньше цифр), чем N. Отсюда следует (хотя я и не буду останавливаться ради подробного доказательства), что Li −1( N ) дает для N- го простого числа правильный результат примерно до половины длины (примерно первая половина цифр оказывается правильной). Выражение Li −1( N ) здесь надо понимать в смысле обратной функции, как в главе 13.ix, следующим образом: «число К , для которого Li( K ) = N ». Миллиардное простое, например, есть 22 801 763 489, a Li −1(1 000 000 000) равно 22 801 627 415, где мы видим пять, почти шесть правильных цифр из одиннадцати.