Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

449. Расположите 10 бочек следующими двумя способами, и сумма номеров вдоль каждой из сторон даст 13 — наименьшее возможное число:

Меняя положение номеров (но не сами номера) на каждой из сторон, мы получим по 8 решений в каждом случае, если не будем различать решения, получающиеся друг из друга поворотами и отражениями.

450. С тремя красными, белыми или зелеными лампами мы можем получить по 15 различных комбинаций (45). С одной красной и двумя белыми мы также можем получить 15 комбинаций, и при каждой из них имеется еще по 3 комбинации порядка цветов; всего 45 комбинаций. То же самое получится с одной красной и двумя зелеными, одной белой и двумя красными, одной белой и двумя зелеными, одной зеленой и двумя белыми, одной зеленой и двумя красными лампами (270). С одной красной, одной белой и одной зеленой лампами мы можем получить 6 раз по 15 комбинаций (90). С двумя красными, двумя белыми или двумя зелеными мы можем получить по 7 комбинаций (21). С одной красной и одной белой, или одной красной и одной зеленой, или одной белой и одной зеленой лампами мы можем получить по 14 комбинаций (42). С помощью только одной лампы мы можем послать всего по 1 сигналу (3). Теперь сложите числа в скобках, и вы получите ответ — 471 сигнал.

451. В следующем решении каждый узник скован с каждым из остальных один и только один раз.

Если читателю хочется найти трудную головоломку, над решением которой он мог бы биться в течение целой зимы, то пусть он попытается разбить аналогичным образом на тройки 21 узника в каждый из 15 дней так, чтобы ни одна пара не оказалась скованной дважды.

В случае, если он придет к выводу, что этого сделать нельзя, мы добавим, что у нас есть одно решение. Но это трудный орешек.

452. При данных условиях существует 144 различных способа.

453. Миссис Финч получила 4 по 17 и 2 по 16, а всего 100 очков; Реджи Уотсон выбил 2 по 23 и 4 по 16, а всего 110; мисс Дора Талбот получила один раз 40 и 5 по 16 очков, а всего 120 очков. Она могла выбить свои 120 очков различными способами, если бы в условии не было сказано, что чья-то стрела поразила «яблочко», а это могла быть только ее стрела.

454. Общее число очков равно 213, так что каждый спортсмен выбил по 71 очку, а это можно сделать следующим образом: первый выбил 50, 10, 5, 3, 2 и 1, второй — 25, 20, 20, 3, 2 и 1 и третий — 25, 20, 10, 10, 5 и 1 очко.

455. Подавляющее большинство людей, пытавшихся решить головоломку «Сакраменто — край богатый», когда она впервые появилась в лондонской газете Daily News , смогли собрать только 45 долларов.

Правильный ответ равен 47 долларам в 10 мешках, расположенных на внешних кругах следующим образом: 4, 5, 6 в первом ряду, 5 во втором, 4 в третьем, 3 в четвертом, 5 в пятом и 5, 6, 4 в нижнем ряду. Если вы возьмете 5 мешков по 6 долларов, то всего сможете собрать 9 мешков с общей суммой 46 долларов.

456. Дети могут сесть 5040 различными способами, из них в 720 случаях на обоих концах окажутся девочки. Следовательно, искомая вероятность равна , или . Это, разумеется, можно выразить по-другому, сказав, что есть 1 шанс против 6 за то, что на концах окажутся девочки.

457. Перенумеруем клеточки, как показано на рисунке. Случай A : мистер Нолик (первый игрок) может начать игру тремя путями: с центра 5 , либо с любого угла — 1, 3, 7 или 9 , либо с любой стороны — 2, 4, 6, 8 . Разберем эти начала по очереди. Если мистер Нолик начнет с центра, то у мистера Крестика есть выбор пойти в угол или на сторону. Если он пойдет на сторону, например в клеточку 2 (случай A ), то Нолик пойдет последовательно на 1 и 4 (или на 1 и 7 ) и выиграет. Поэтому Крестик должен сделать ход в угол, как в случае B , при этом Нолик сможет добиться всего лишь ничьей. Если Нолик сделает первый ход в угол, скажем в 1 , то Крестик может ответить ему пятью способами — случаи C, D, E, F и G (поскольку 4 есть то же самое, что и 2; 7 — то же, что и 3; 8 — то же, что и 6 ). Если он выберет случай C , то Нолик выигрывает, сделав ход на 5 и 4 ; если D , то Нолик выигрывает на 7 и 3 ; если E , то Нолик выигрывает на 9 и 7 ; если F , то Нолик выигрывает на 5 и 3 . Поэтому Крестик вынужден пойти в центр, как в случае G ; при этом игра закончится вничью. Если Нолик начнет со стороны, скажем с клеточки 2 , как в случаях Н, J, К, L и М , а Крестик сыграет, как в случае Н , то Нолик выиграет, сделав ходы на 5 и 1 ; а если Крестик выберет случай J , то Нолик выиграет на 1 и 5 . Следовательно, Крестик, чтобы добиться ничьей, должен пойти, как в случаях K , L или M .