Владимир Успенский - Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Чтобы понять, как такое возможно, надо напрячь воображение, а затем рассуждать по аналогии.

Вообразим себе обычную двумерную сферу, населённую двумерными же существами; их принято называть флатландцами . Мы с вами живём насфере (на поверхности Земли), флатландцы же пребывают втеле сферы, в её «толще»; эта «толща», конечно, не имеет толщины, но ведь и флатландцы её не имеют. Органы чувств не позволяют флатландцам ощутить что-нибудь вне пределов этой сферы, которая для них составляет Вселенную. Сфера большая, а двумерные жители обитают на небольшом её участке и — внимание! — полагают, что их Вселенная представляет собою двумерное евклидово пространство, то есть плоскость. Посмотрим, что может поколебать их в этом убеждении. Если считать, что флатландцы умеют видеть чрезвычайно далеко, то удалённый от них объект они видят с двух сторон: ведь в их Вселенной луч света идёт по сфере, огибая её. Космический путешественник, двигающийся всё время в одну сторону, возвращается, обогнув сферу, в исходную точку. Радиус окружности двумерные существа проводят по сфере, и его длина оказывается больше радиуса той же окружности, проведённого в недоступном им «внешнем» пространстве, — а потому длина окружности окажется меньшей, нежели та, которая вычисляется через «фатландский радиус» по нашей школьной формуле. Посмотрим теперь, что произойдёт, если двумерный экспериментатор окружит себя канцелярской резинкой, способной неограниченно растягиваться, придаст ей форму окружности и станет увеличивать радиус этой окружности. Сперва длина окружности будет возрастать, а после прохождения через «экватор» уменьшаться и в итоге уменьшится до нуля.

А теперь картину, только что изложенную нами для двумерного мира, надо по аналогии перенести на мир трёхмерный. Мы, как и флатландцы, убеждены, что пребываем в «прямом» евклидовом пространстве школьной геометрии. Однако не исключено, что на самом деле — в (не «на», а «в») сфере, только трёхмерной. И эту трёхмерную сферу можно представлять себе расположенной в евклидовом четырёхмерном пространстве — наподобие того, как двумерная сфера расположена в пространстве трёхмерном. Четырёхмерного пространства мы, разумеется, не воспринимаем своими органами чувств, но ведь и флатландцы не воспринимают пространства трёхмерного. Как и флатландцы, мы можем убедиться в кривизне мира, увидев какой-нибудь весьма отдалённый предмет с двух противоположных сторон или сравнивая длину окружности с той, которая выражает эту длину через радиус по стандартной, известной из школы формуле. Вместо эксперимента с канцелярской резинкой надлежит произвести тот эксперимент с растягивающейся плёнкой, о котором было сказано выше.

Нередко представления об устройстве Вселенной, уже включённые наукой в перечень подтверждённых, кажутся парадоксальными; не исключено, что некоторые её свойства могут оказаться ещё более парадоксальными. Пожалуй, сейчас уже всем известен так называемый парадокс близнецов . Если один из двух близнецов совершает космическое путешествие, а другой остаётся на Земле, то в момент возвращения из космоса космонавт непременно окажется моложе своего брата; если ускорения, которым подвергался космонавт во время путешествия, были достаточно велики и длительны, разница в возрасте будет заметна на глаз. Сейчас мы опишем другое явление — парадокс зеркального отражения . Встретится ли когда-либо названный парадокс в действительности, неизвестно; в отличие от парадокса близнецов, описывающего реальные (точнее сказать — общепризнанные) свойства мироздания, возможность осуществления зеркального отражения чисто теоретическая, она всего лишь не опровергнута.

Итак, парадокс зеркального отражения . В 1896 году Г. Дж. Уэллс написал свою «Историю Платтнера» («The Plattner story») — уже упоминавшийся рассказ о том, как школьный учитель Готфрид Платтнер претерпевает фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. До путешествия он не был левшой и имел нормальное строение тела за исключением лёгкой асимметрии: «Левый глаз немного больше правого и челюсть чуть-чуть отвисает с левой стороны». А вот каким он сделался после своего путешествия: «Правый глаз немного больше левого, и правая часть челюсти слегка тяжелее левой. ‹…› Сердце Готфрида бьётся с правой стороны! ‹…› Все другие несимметричные части его тела расположены не на своих местах. Правая доля его печени расположена с левой стороны, левая — с правой, аналогично перепутаны и лёгкие. ‹…› Он может писать только левой рукой, причём справа налево».