Владимир Успенский: Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Аксиоматическое построение геометрии не предполагает разъяснения того, чт о такое точки, прямые и названные отношения. Вместо этого формулируются аксиомы, в которых указывается, каким законам подчиняются точки, прямые, инцидентность, отношение ‘между’, конгруэнтность отрезков и конгруэнтность углов. Из этих аксиом и выводятся теоремы геометрии. Говоря формально, аксиомы могут быть какими угодно, лишь бы они не противоречили друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы теория описывала реальность, то, как уже отмечалось, и аксиомы, связывающие идеальные объекты и отношения теории, должны отражать свойства тех сущностей реального, физического мира, отражением каковых и служат указанные идеальные объекты и отношения, положенные в основу теории. В частности, отношение конгруэнтности геометрических фигур должно отражать возможность одной фигуры быть совмещённой с другой посредством перемещения.

На примере куздр, бокров и будлания мы попытались вкратце изложить суть аксиоматического метода. Несколько заключительных замечаний относительно этого примера. Заменим в вышеприведённых аксиомах (1) — (4) слово «куздра» на слово «точка», слово «бокр» на слово «прямая», слово «будлать» на выражение «лежать на». Аксиома (4) превратится тогда в такое утверждение (!4): На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки . Аналогично, аксиомы (1), (2) и (3) превратятся в утверждения (!1), (!2) и (!3), которые мы просим любезного читателя образовать самостоятельно. Утверждения (!1), (!2), (!3) и (!4) составляют в своей совокупности группу так называемых аксиом связи планиметрии, регулирующих то, как точки связаны с прямыми. Читатель может теперь перевести аксиому о параллельных на язык куздр: Для куздры, не будлающей заданного бокра, существует не более одного бокра… (благоволите продолжить). И последнее — странные эти слова мы заимствовали у выдающегося отечественного языковеда Льва Владимировича Щербы, который в двадцатых годах XX века учил студентов извлекать максимум лингвистической информации из фразы: Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокрёнка .

Давно известна классическая формула репортёров: если собака укусила человека, это не новость; если человек укусил собаку — это новость. Сведения о том, что петербургский математик Григорий Перельман решил великую математическую проблему, стоявшую более ста лет, начали появляться в средствах массовой информации с 2003 года. Но это была ещё не новость. Подлинной новостью, согласно приведённой формуле, стала сенсация, облетевшая СМИ и заметное время удерживаемая ими летом 2006 года: Перельман отказался от всех присуждённых ему наград — в частности, от миллиона долларов. Корреспондентам, пытавшимся взять у него интервью, Перельман вежливо, но решительно отказал во встрече, сославшись на неуместную шумиху, но прежде всего на то, что должен идти в лес по грибы, — эти причины отказа были названы им в оглашённой по телевидению записи телефонного разговора с домогающимися корреспондентами. Одновременно сообщалось, что проблема не только трудная и знаменитая, но и существенная для теоретической физики, а именно для понимания устройства окружающего нас физического пространства.

Пожалуй, со времени вхождения в общекультурный оборот проблемы Ферма ни одна математическая проблема с сопровождающим её шлейфом обстоятельств не приобретала такой массовой известности. Произошло вторжение математической проблематики в общественное сознание. Следует ли закрепить величие великой проблемы тем, что оставить её окружённой ореолом тайны, открытой лишь для посвящённых и полностью недоступной пониманию широкой публики? Не знаю; может быть, и стоит. Тем не менее в этой главе мы попытаемся в самых общих чертах объяснить читателю-нематематику, в чём состоит проблема.

Но сперва о «шлейфе обстоятельств». Григорию Яковлевичу Перельману, безработному кандидату физико-математических наук, в отличие от якобы доказавших теорему Ферма «академиков» (см. выше главу 2) и в самом деле решившему так называемую проблему Пуанкаре, ещё только предстоит отказаться (или не отказаться) от миллиона долларов.

До тех пор, пока премия не будет ему предложена, Перельман, по его собственным словам, не намерен заниматься решением вопроса, принимать её или нет. Что касается самой этой премии, то расположенный в Массачусетсе частный Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) действительно включил проблему Пуанкаре в список из семи математических «Проблем Тысячелетия» и за решение каждой из них обещает выплатить миллион. Но выплата происходит по прошествии определённого срока и после специальной экспертизы. В случае проблемы Пуанкаре ни то, ни другое, кажется, ещё не произошло. К тому же к рассмотрению, как правило, принимаются лишь решения, опубликованные в авторитетных изданиях, реферируемых в специальных реферативных журналах. Ни одно из бумажных изданий Перельман не удостоил и своё решение обнародовал лишь в Интернете. От чего Перельман действительно отказался, так это от медали Филдса.