Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Задача менеджера — на основании этой диаграммы выработать систему. Он должен построить схему распределения номеров между постояльцами таким образом, чтобы каждый получил свой номер после того, как будет заселено конечное число других людей.

К сожалению, предыдущий менеджер не понял этого, и начался хаос. Когда приезжала очередная колонна автобусов, он так волновался, пытаясь быстро расселить пассажиров первого автобуса, что у него не оставалось времени на яростно кричащих пассажиров других автобусов. На диаграмме ниже проиллюстрирована эта недальновидная стратегия, путь которой всегда соответствовал бы пути на восток вдоль строки 1.

Однако новый менеджер все взял под контроль. Вместо движения вдоль первой строки (обслуживая только первый автобус) он двигался из угла по зигзагообразной схеме, как показано ниже.

Он начинает с первой пассажирки автобуса с номером 1 и дает ей первую пустую комнату. Второй и третий свободные номера займут второй пассажир из первого автобуса и первый пассажир из второго автобуса. Оба находятся на второй диагонали от угла диаграммы. Заселив их, менеджер переходит к третьей диагонали и раздает набор ключей от номеров первому пассажиру из третьего автобуса, второму пассажиру из второго автобуса и третьему пассажиру из первого автобуса.

Надеюсь, тактика менеджера — двигаться от одной диагонали у другой — достаточно очевидна. Нетрудно догадаться, что очередь до любого конкретного человека дойдет за конечное число шагов.

Итак, в отеле Гильберта действительно всегда есть свободные места.

Доказательство, которое я только что представил, — известный аргумент из теории бесконечных множеств. Кантор использовал его, чтобы доказать, что положительных дробей ровно столько (соотношений p/q , где p и q — положительные целые числа), сколько и натуральных чисел (1, 2, 3, 4…). Это гораздо более сильное утверждение, чем то, что оба множества бесконечны. Оно говорит о том, что они бесконечны точно в той степени, в какой между ними может быть установлено взаимно-однозначное соответствие.

Вы можете рассматривать это соответствие как систему напарников, в которой каждое натуральное число состоит в паре с некоей положительной дробью, и наоборот. Кажется, что наличие такой системы противоречит здравому смыслу. Это своего рода софистика, приведшая Пуанкаре в ужас. Ибо она предполагает, что мы могли бы сделать исчерпывающий перечень всех положительных дробей, хотя самой маленькой дроби не существует!

И все же есть такой список. Мы его уже нашли. Дробь p/q , в которой пассажиру p соответствует автобус q , а представленное выше доказательство показывает, что каждая из этих дробей может составить пару с определенным натуральным числом 1, 2, 3, …, представляющим собой номер комнаты пассажира в отеле Гильберта.

Позже Кантор также доказал, что взаимно однозначного соответствия между этими парами быть не может. Поскольку множество действительных чисел, лежащих между 0 и 1, неисчислимо и не может быть поставлено в однозначное соответствие с натуральными числами. Для гостиничного бизнеса это означает, что, если все вещественные числа появятся у стойки администратора и начнут звонить в колокольчик, для них не хватит свободных номеров даже в отеле Гильберта.

Докажем это утверждение от противного. Допустим, каждому действительному числу можно дать собственную комнату. Тогда реестр жильцов, которые определены десятичными дробями, и список номеров комнат будут выглядеть примерно так:

Номер 1: 0,6708112345…

Номер 2: 0,1918676053…

Номер 3: 0,4372854675…

Номер 4: 0,2845635480…

Помните, список должен быть полным. Каждое действительное число между 0 и 1 должно появиться в каком-то конечном месте реестра.

Кантор показал, что в подобном перечне отсутствует много чисел. Вот это и есть противоречие. Например, чтобы построить число, которое нигде не появляется в представленном выше списке, спуститесь по диагонали и составьте новое число из подчеркнутых цифр:

Номер 1: 0,6708112345…

Номер 2: 0,1918676053…