Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

ax 2+ bx + c = 0

(где a, b, c — известные, но произвольные числа, а х — неизвестная) могут быть представлены в виде формулы для вычисления их корней

Что такого примечательного в этой формуле и насколько она точна и всеобъемлюща? Ответы находятся прямо в ней: она работает при любых коэффициентах a, b и c . Учитывая наличие бесконечного множества возможных вариантов значений каждого из них, для одной формулы это уже немало.

В наше время квадратные уравнения стали незаменимым инструментом для практического применения. Инженеры и ученые используют их для настройки радиоаппаратуры, анализа вибрации пешеходных мостов и небоскребов, расчетов движения пушечного ядра, снижения и роста популяции животных и бесчисленного множества других явлений реального мира.

Для формулы, родившейся тринадцать веков назад, это совсем немало.

Если вы были страстным любителем телевидения в 1980-х, то, конечно, помните сериал под названием «Детективное агентство “Лунный свет”» с живыми диалогами и романтическими отношениями между партнерами по фильму. В нем пару проницательных частных детективов Дэвида Эддисона и Мэдди Хэйс исполняли Брюс Уиллис и Сибилл Шепард.

В ходе расследования одного особенно жестокого дела Дэвид интересуется у помощника, кто ему кажется наиболее вероятным преступником. «Ума не приложу», — отвечает Мэдди. «А вы знаете, чего я не понимаю?» — спрашивает Дэвид. «Логарифмов?» — догадывается помощник. И Дэвид, реагируя на взгляд Мэдди, произносит: «А что? Вы их понимаете?»

Это довольно точно отражает всеобщее отношение к логарифмам. Большинство людей после окончания средней школы их никогда уже больше не используют, по крайней мере осознанно, и не обращают внимания на логарифмы, скрывающиеся за кулисами повседневной жизни.

То же самое касается и многих других функций [51] Для простоты выражение x 2 я назвал функцией, но было бы точнее говорить об отображении x в x 2 . Я надеюсь, что это сокращение не запутает читателя, поскольку подобные надписи мы видим на кнопках калькулятора. , рассматриваемых в высшей математике и началах анализа. Степенн ы е функции, показательные функции — в чем их суть? В этой главе я хочу помочь вам по достоинству оценить их полезность, даже если вам никогда не приходилось нажимать на кнопки инженерного калькулятора.

Математику необходимы функции по той же причине, что и строителю молотки и сверла. Инструменты преобразовывают вещи. То же самое делают функции. Поэтому математики часто обращаются к ним для выполнения преобразований. Но вместо дерева и стали функции обрабатывают числа и графики, а порой и другие функции.

Чтобы понять, что я имею в виду, давайте построим график уравнения у = 4 — х 2. Возможно, вы помните, как это делается: сначала вы рисуете плоскость xy с горизонтальной осью х и вертикальной у . Затем для каждого значения х вычисляете соответствующее значение y ; эта пара чисел является координатами одной точки графика на плоскости xy . Например, если х = 1, то уравнение говорит, что y = 4–1 2= 4–1 = 3. Таким образом ( х, у ) = (1, 3) координаты точки. После того как вы вычислите и построите еще несколько точек на плоскости, возникнет следующая картина.

У нас получилась изогнутая математическими плоскогубцами кривая. В уравнении для у функция, которая преобразует x в x 2, ведет себя подобно обычному инструменту для сгибания материала. Когда ее прикладывают к любой точке на оси х (прямую от точки х до точки х 2можно представить в виде прямого куска проволоки), плоскогубцы изгибают и вытягивают этот кусок проволоки в направлении вниз так, чтобы получилась изогнутая арка, как показано на рисунке.

А какую роль играет число 4 в уравнении у = 4 — x 2? Это гвоздь, на который повесят картину на стену. Он поднимает изогнутые арки из проволоки на 4 единицы вверх. Так как при этом все точки кривой поднимаются на одинаковую высоту, то она считается постоянной функцией.