Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Например, аль-Хорезми рассмотрел квадратное уравнение

x 2+ 10 x = 39.

Однако в его время такие задачи формулировались устно, а не в виде уравнений. Он задал вопрос: «Какая площадь при увеличении на десять собственных корней дает 39?» (Здесь термин «корень» относится к неизвестным х ).

Эта задача гораздо сложнее, чем те две, которые мы рассматривали выше. Как мы можем выделить х сейчас? Приемы, используемые ранее, неэффективны, так как члены уравнения x 2и 10 x здесь наступают друг другу на пятки. Даже если удастся освободиться от x в одном из них, другой член остается связанным. Например, если мы разделим обе части уравнения на 10, 10 x сократится до x (к чему мы и стремились), но x 2превратится в x 2/10, что нисколько не приближает нас к желаемому результату. Основным препятствием является то, что мы хотим одновременно сделать две, по-видимому, несовместимые вещи.

На предложенном аль-Хорезми решении квадратного уравнения стоит остановиться подробнее. Во-первых, потому что оно блестяще, а во-вторых, потому что оно настолько мощное, что позволяет решать все квадратные уравнения одним махом. Это означает, что, если известные числа 10 и 39 из нашего уравнения поменять на другие, метод все равно будет работать.

Идея аль-Хорезми состоит в том, чтобы представить каждое из слагаемых в уравнении геометрически. Первый член x 2— это площадь квадрата со стороной x .

Второй член 10 x можно рассматривать как площадь прямоугольника 10 на х , или, более изощренно, как площадь двух равных прямоугольников, каждый размером 5 на х . (Разбиение прямоугольника на два меньших готовит почву для основного маневра, который последует далее, — получения полного квадрата.)

Прикрепите два новых прямоугольника к площади x 2для получения г-образной фигуры x 2+ 10 x :

В таком случае головоломка аль-Хорезми сводится к вопросу: если г-образная фигура занимает 39 квадратных единиц площади, то каким должен быть х ?

Изображение само по себе неуклонно подталкивает к следующему шагу. Посмотрите на пустой угол. Если бы он был заполнен, то г-образная фигура превратилась бы в идеальный квадрат. Учтем это наблюдение и заполним квадрат.

Помещение в пустой угол квадрата 5 × 5 добавляет 25 квадратных единиц к уже существующей площади х 2+ 10 х и в общей сложности дает x 2+ 10 x + 25. Это равносильно выражению общей площади в виде ( x + 5) 2, так как каждая сторона заполненной площади равна х + 5 единиц.

Между тем, поскольку мы добавили 25 единиц к левой части уравнения x 2+ 10 x = 39, для сохранения баланса следует добавить 25 и к его правой части. Так как 39 + 25 = 64, то наше уравнение превращается в

( х + 5) 2= 64.

Это уравнение наверняка решаемо. Вычисляя квадратные корни из его обеих частей, получаем х + 5 = 8 и, следовательно, х = 3.

Число 3 действительно является корнем уравнения х 2+ 10 x = 39. Если возвести 3 в квадрат, получится 9, а затем добавить 10 раз по 3 (выйдет 30), то общая сумма составит 39, что и требовалось доказать.

В этом решении есть одна загвоздка. Если бы аль-Хорезми занимался алгеброй сейчас, то он не получил бы «полного доверия» к такому ответу, так как не упомянул, что отрицательное число х = –13 тоже является корнем. Возведение его в квадрат дает 169, умножение на 10 даст –130, а их сумма составит 39. Но это отрицательное решение в древние времена было бы проигнорировано, поскольку квадрат со стороной отрицательной длины геометрически не имеет смысла. Сегодня алгебра меньше обязана геометрии, и мы считаем положительные и отрицательные решения одинаково правильными.

Только спустя несколько столетий после смерти аль-Хорезми ученые пришли к пониманию, что все квадратные уравнения могут решаться аналогичным способом — путем заполнения квадратов до тех пор, пока они склонны это позволять отрицательным числам (и их квадратным корням), которые часто встречаются в ответах. Такая линия аргументации выявляет, что решения любых квадратных уравнений