Petri Fermat - Observationes Domini Petri de Fermat

Numerus 21. non potest dividi in duos quadratos in fractis. Hoc autem facillime demonstrare possumus, et generalius omnis numerus cuius triens non habet trientem non potest dividi in duos quadratos neque in integris neque in fractis.

Перевод:

Число 21 не может быть разложено на сумму двух дробных квадратов. Мы можем это легко доказать. И вообще, никакое число, третья часть которого не имеет трети, не может быть разложено на два квадрата ни целых, ни дробных.

Ad idem commentarium.

BACHETUS. — Aliquando mihi venit in mentem Diophantum voluisse duplum dati numeri paris unitate auctum esse numerum primum, quandoquidem omnes fere hujusmodi numeri componuntur ex duobus quadratis, quales sunt 5, 13, 17, 29, 41, aliique primi numeri qui sublata unitate relinquunt numerum pariter parem. Verumtamen neque hæc explicatio sustineri potest. Nam primum hac ratione per hujusmodi conditionem excluderentur omnes numeri, quorum duplum unitate auctum est quadratus numerus… Deinde excluderentur etiam multi numeri, quorum duplum unitate auctum componitur ex duobus quadratis, quales sunt 22, 58, 62 et alii innumerabiles. Nam dupli horum unitate aucti sunt 45, 117, 125, quorum nullus est primus numerus, quum quilibet multos habeat metientes; unusquisque tamen e duobus quadratis conflatur, primus scilicet ex quadratis 36 et 9, secundus ex quadratis 81 et 36, tertius ex quadratis 100 et 25.

Vera limitatio hæc est, generalis nempe et omnes numeros inutiles excludens. Oportet datum numerum non esse imparem, neque duplum eius unitate auctum per maximum quadratum ex quo mensuratur divisum dividi à quovis numero primo unitate minori quâ multiplex quaternarij.

Перевод:

Вот истинное условие, действительно общее и исключающее все непригодные числа: необходимо, чтобы данное число не было нечетным и чтобы двукратное этого числа, увеличенное на единицу, после деления на наибольший измеряющий его квадрат, не могло быть разделено на простое число, которое на единицу меньше кратного четырех.

Ad commentarium in quæstionem XIV Libri V.

QUÆSTIO DIOPHANTI. — Unitatem dividere in tres numeros et cuilibet addere datum eumdem numerum et ita quemlibet quadratum facere. Oportet autem datum neque binarium esse neque aliquem eorum qui fit addito binario ad octonarii multiplicem.

BACHETUS… Ingeniosa est et autore digna huiusmodi limitatio. Cæterum quamvis, ut ostensum est, hæc conditio sit necessaria, non est tamen sufficiens, nam non solum numeri omnes hac limitatione comprehensi solvendæ quæstioni sunt inutiles, sed præterea numerus 9 et omnes alii qui fiunt addito 9 ad 32 vel ad aliquem ejus multiplicem, quales sunt 41, 73, 105, etc.; nam horum triplum addita unitate neque quadratus est neque numerus e duobus vel tribus quadratis compositus…

Cæterum an hæ duæ limitationes simul sufficientes sint, ita ut per utramque simul excludantur omnes omnino numeri quorum triplum unitate auctum non est quadratus nec e duobus vel tribus quadratis compositus, non ausim temere affirmare. Equidem vix adducor ut aliter sentiam, quum in omnibus numeris ab unitate usque ad 325 id sim expertus.

Limitatio ipsa Bacheti est insufficiens, imo nec ipsius experientia satis fuit accurata, nam 37 numerus cadit in limitationem, non autem in regulam. Vera limitatio sic concipi debet.

Exponantur duæ progressiones quadrati altera ab 1, altera ab octonario, et una alteri superponatur sic.

1 4 16 64 256 1024 4096 etc.

8 32 128 512 2048 8192 32768 etc.

Et considerando primò terminum primum secundæ qui est 8. oportet datum numerum non esse duplum unitatis quia ipsi superponatur unitas, neque superare duplo unitatis multiplicem 8.

Deinde considerando secundum terminum secundæ progressionis qui est 32, sumatur duplum numeri superpositi qui est 4. fit 8. cui si addas omnes in eadem progressione superiori proxime antecedentes (in hoc exemplo invenietur sola unitas) fit 9. sumptis igitur duobus numeris 32 et 9. oportet datum numerum neque esse 9 neque superare dicto numero 9. multiplicem 32. consideretur mox tertius progressionis secundæ terminus qui est 128. sumatur duplum numeri superpositi qui est 16. fit 32, cui si addas omnes in eâdem progressione superiori proxime antecedentes qui iam sunt 1. et 4. fit 37. sumptis igitur duobus numeris 128. et 37 oportet datum numerum neque esse 37. neque superare dicto 37. multiplicem 128.

Considerato deinde 4. progressionis secundæ termino fient ex methodo numeri 512 et 149. oportebit itaque datum numerum neque esse 149. neque superare dicto 149. multiplicem 512. et est uniformis et perpetua in infinitum methodus quam neque Diophantus generaliter indicavit, nec Bachetus ipse detexit cuius vel ipsa experientia fallit, ut iam præmonuimus, non solum in numero 37 qui est intra limites experientiæ de quâ fidem facit, sed etiam in numero 149. et alijs.

Перевод:

Условия, наложенные Баше [29], недостаточны: более того, он не провел свои исследования с нужной аккуратностью, так, например, число 37 не исключается этими условиями, но оно не может быть взято.

Вот каковы должны быть условия:

Возьмем две геометрические прогрессии со знаменателем 4 и имеющие первые члены 1 и 8 и напишем их одну под другой следующим образом:

1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096 и т. д.,

8, 32, 128, 512, 2048, 8192, 32768 и т. д.,

и рассматриваем сначала первый член второй прогрессии, т. е. 8; нужно, чтобы данное число не равнялось удвоенной единице, т. е. члену, стоящему над 8, и не превосходило на удвоенную единицу кратное от 8.

Затем рассматриваем второй член второй прогрессии, который равен 32, берем и удваиваем верхнее число, т. е. 4, что даст 8, и прибавляем к нему сумму всех предшествующих членов той же прогрессии (в данном случае эта сумма сводится к единице), что даст 9.

Возьмем число 32 и 9; тогда нужно, чтобы данное число не равнялось 9 и не превосходило 9 на кратное от 32.

Теперь рассмотрим третий член второй прогрессии, т. е. 128, удвоим стоящее выше число, т. е. 16, получим 32; прибавим сумму предшествующих членов той же верхней прогрессии, т. е. 1 и 4, получим 37. Итак, возьмем два числа 128 и 37; нужно, чтобы данное число не равнялось 37 и не превосходило 37 на кратное от 128.

Рассмотрим теперь четвертый член второй прогрессии, тем же методом получим числа 512 и 149. Итак, нужно, чтобы данное число не равнялось 149 и не превосходило 149 на кратное от 512.