Жуан Гомес - Мир математики. т.2. Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография

Первые три цифры (АВС) обозначают код страны, производящей товар. Для России этот код может быть от 460 до 469. Для некоторых стран этот код может быть двузначным; тогда третья цифра входит в следующую группу.

Следующие шесть цифр (DEFGHI) обозначают компанию, производящую продукт. В этой группе может быть 4–6 цифр.

Остальные три цифры (JKL) означают код продукта, который был выбран компанией. В этой группе может быть 3–5 цифр.

Последняя цифра (М) — контрольный код. Чтобы вычислить его, мы должны сложить цифры на нечетных позициях, начиная с левой и без учета контрольной.

К полученному значению мы прибавим утроенную сумму цифр на четных позициях. Тогда контрольная цифра дополняет общую сумму до значения, кратного 10. Как видно, контрольный алгоритм системы штрихкодов очень напоминает правило контроля кредитных карт.

Проверим, действителен ли следующий штрихкод:

8413871003049

8 + 1 + 8 + 1 + 0 + 0 + 3∙(4 + 3 + 7 + 0 + 3 + 4) = 18 + 3∙21 = 18 + 63 = 81.

Правильная контрольная цифра должна быть 90–81 = 9.

Математическая модель алгоритма основана на модульной арифметике (по модулю 10) и работает следующим образом.

Для штрихкода ABCDEFGHIJKLM обозначим за N следующее значение:

A + C + E + G + I + K + 3∙(B + D + F + H + J + L) = N,

и пусть n будет значение N по модулю 10. Контрольная цифра М определяется как М = 10 — n . В нашем примере 81 1 (mod. 10), поэтому контрольная цифра действительно 10 — 1 = 9.

Предыдущий алгоритм можно сформулировать по-другому, используя в расчетах контрольную цифру. Следующий метод позволяет проверить правильность контрольной цифры, даже не вычисляя ее.

A + C + E + G + I + K + 3∙(B + D + F + H+ J + L) 0 (mod 10).

Например, для штрихкода

5701263900544

5 + 0 + 2 + 3 + 0 + 5 + 3∙(7 + 1 + 6 + 9 + 0 + 4) + 4 = 100.

100 0 (mod 10).

Значит, штрихкод действителен.

Теперь попробуем определить значение утерянной цифры в штрихкоде, а именно, цифры X в следующем коде:

401332003X497

Подставим цифры в формулу в соответствии с алгоритмом

4 + 1 + 3 + 0 + 3 + 4 + 3∙(0 + 3 + 2 + 0 + X + 9) + 7 = 64 + 3X 0 (mod 10).

По модулю 10 получим следующее уравнение:

4 + ЗХ 0 (mod 10).

ЗХ = -4 + 0 = -4 + 10 6 (mod 10).

Заметим, что число 3 имеет обратный элемент, т. к. НОД (3,10) = 1.

Отсюда видим, что X должно быть 2. Поэтому правильный штрихкод

4013320032497.

* * *

QR-КОД

В 1994 г. японская компания Denso-Wave разработала графическую систему шифрования для идентификации автомобильных деталей на сборочной линии. Система была названа QR (Quick Response — «быстрый отклик») из-за скорости, с которой информация может быть прочитана машинами, предназначенными для этой цели, и стала использоваться не только на автомобильных заводах. Всего несколько лет спустя большинство японских мобильных телефонов могли считывать информацию, содержащуюся в коде. QR-код является матричным кодом, представляющим собой некоторое количество черных и белых квадратов, расположенных в виде большого квадрата. Квадраты соответствуют двоичным значениям, 0 или 1, и, следовательно, работают аналогично штрихкодам, хотя двумерность кода позволяет хранить намного больше информации.

QR -код, составленный из 37 рядов, для университета Осаки, Япония

При быстром развитии вычислительной техники криптография вовсе не игнорировалась. Процесс шифрования сообщения с помощью компьютера почти не отличается от шифрования без компьютера, но есть три основных отличия. Во-первых, компьютер можно запрограммировать для имитации работы обычной шифровальной машины, например, с 1000 роторами, что избавляет от необходимости физически создавать такие устройства. Во-вторых, компьютер работает только с двоичными числами и, следовательно, все шифрование будет происходить на этом уровне (даже если числовая информация потом снова будет расшифрована в текст). И в-третьих, компьютеры очень быстро работают с вычислениями и расшифровывают сообщения.

Первый шифр, предназначенный для того, чтобы воспользоваться потенциалом компьютеров, был разработан в 1970-х гг. Например, «Люцифер», шифр, который разделял текст на блоки по 64 бита и зашифровывал некоторые из них с помощью сложной подстановки, а затем группировал их снова в новый блок зашифрованных битов и повторял процесс. Для работы такой системы было необходимо, чтобы отправитель и получатель имели компьютеры с одной и той же программой шифрования, а также общий цифровой ключ. 56-битная версия шифра «Люцифер», названная DES, была разработана в 1976 г. DES (Data Encryption Standard — «стандарт шифрования данных») по-прежнему используется в наши дни, хотя этот шифр был взломан в 1999 г. и заменен 128-битным AES (Advanced Encryption Standard) в 2002 г.