Жуан Гомес - Мир математики. т.2. Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография

Хотя и не такие впечатляющие, как криптография или двоичная математика, и часто незаметные для нас, несмотря на их вездесущность, стандартизированные коды банков, супермаркетов и других крупных подсистем экономики являются одной из основ современного общества. Только в этом случае задача состоит в обеспечении уникальной и точной идентификации продукта, будь то банковские счета, книги или яблоки. Рассмотрим эти коды более подробно.

Кредитные карты

Дебетовые и кредитные карты, предлагаемые крупными банками и универмагами, фактически определяются набором групп чисел, рассчитанных и проверяемых одним и тем же алгоритмом, основанным на уже известной нам модульной арифметике.

Большинство карт имеет 16 цифр от 0 до 9. Числа сгруппированы по четыре цифры, чтобы их легче было прочитать. Для наших целей мы будем обозначать их следующим образом:

ABCD EFGH IJKL MNOP

Каждая группа цифр кодирует определенную информацию: первая группа (ABCD) идентифицирует банк (или любой другой субъект, оказывающий услуги).

Каждый банк имеет свой номер, который может меняться в зависимости от континента, а также от бренда карты и условий. Пятая цифра (Е) соответствует типу карты и указывает, какое финансовое учреждение управляет счетом.

Как мы видим, это не жесткое правило.

Следующие десять цифр (FGH IJKL MNO) являются уникальным идентификатором для каждой карты. Эти числа связаны с номером счета клиента, с уровнем карты — Classic, Gold, Platinum и т. д., а также с кредитным лимитом, сроком действия и процентными ставками по типу баланса.

Наконец, контрольная цифра (Р) связана с предыдущими цифрами в соответствии с алгоритмом Луна.

В России первые шесть цифр номера карты (ABCDEF) являются банковским идентификационным номером (БИН). Первая из этих шести цифр указывает на платежную систему. Например, у карт Visa первая цифра — 4, у MasterCard — 5.

Седьмая и восьмая цифры номера карты (GH) уточняют, в рамках какой программы банка была выпущена карта. Следующие семь цифр (IJKL MNO) идентифицируют непосредственно карту. Последняя цифра (Р) — контрольная.

Алгоритм Луна назван так в честь Ганса Питера Луна, немецкого инженера, разработавшего его. Для 16-значной карты этот алгоритм работает следующим образом.

1. Каждую цифру в нечетной позиции, начиная с первого числа слева, мы умножаем на два. Если результат больше 9, мы складываем обе цифры этого двузначного числа (или, что то же самое, вычитаем из него 9). Например, если мы получили 18, сложение цифр дает 1 + 8 = 9, а вычитание — 18 — 9 = 9.

2. Затем мы складываем все полученные таким образом результаты, а также цифры, расположенные на четных позициях (в том числе последнюю контрольную цифру).

3. Если окончательная сумма кратна 10 (то есть ее значение равно нулю по модулю 10), номер карты является действительным. Заметим, что именно последняя контрольная цифра делает общую сумму кратной 10.

* * *

DINER’S CLUB

Одной из первых кредитных карт, получивших широкое признание, была карта Diner's Club. Автором идеи был американец Фрэнк Макнамара. В 1950 г. ему удалось убедить различные рестораны принимать оплату безналично с помощью персональных гарантированных кредитных карт, которые Макнамара распространил среди своих лучших клиентов. Наиболее часто в первые десятилетия кредитными картами расплачивались за обеды американские коммивояжеры, будучи в дороге.

* * *

Например, пусть карта имеет следующий номер:

1234 5678 9012 3452

По алгоритму Луна имеем:

1∙2 = 2

3∙2 = 6

5∙2 = 10 => 1 + 0 = 1

7∙2=14 => 1 + 4 = 5 (или 14-9 = 5)

9∙2 = 18 => 1 + 8 = 9

1∙2 = 2

3∙2 = 6

5∙2 = 10 => 1 + 0 = 1

Далее найдем сумму результатов и цифр на четных позициях:

2 + 6 + 1 + 5 + 9 + 2 + 6 + 1 = 32

2 + 4 + 6 + 8 + 0 + 2 + 4 + 2 = 28

32 + 28 = 60

Результат равен 60, это число кратно 10. Поэтому номер карты является действительным.

Алгоритм Луна можно применить другим способом: номер карты ABCD EFGH IJKL MNOP является правильным, если удвоенная сумма цифр на нечетных позициях и сумма цифр на четных позициях плюс количество цифр на нечетных позициях, которые больше, чем 4, кратно 10. Это правило записывается так:

2 (A + C + E + G + 1 + К + М + О) + (B + D + F + H + J + L + N + P) + (количество цифр на нечетных позициях, которые больше, чем 4) = 0 (mod 10).

Применим это правило к предыдущему примеру:

1234 5678 9012 3452