Хавьер Фресан - Мир математики - m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

Теперь найдем Р + (Q + R) и обозначим ее на том же рисунке. Прямая, соединяющая Q и Р, пересекает кривую в точке QR. Симметричной ей будет точка Q + R.

Нужно доказать, что прямая l 2, соединяющая Q + R и Р, пересекает кривую в точке Т.

104

Обозначим через C 1объединение трех прямых, изображенных пунктирной линией. Учитывая, что точка схода О принадлежит прямой, соединяющей QR и Q + R, заметим, что C 1пересекает эллиптическую кривую в следующих девяти точках:

С 1∩ C = {O, Р, Q, R, PQ, QR, P+Q, Q+R, T}.

Первые восемь из них также принадлежат объединению прямых, изображенных сплошными линиями, которое мы обозначим С 2.

Теперь мы можем использовать классическую теорему о пересечении кубических кривых на плоскости. Прежде чем изложить ее, напомним, что кубическая кривая задается множеством решений уравнения третьей степени от переменных х и y.

К примеру, кубической кривой является эллиптическая кривая, заданная уравнением y² = x 3+ ах + b. Кроме того, кубической кривой будет и объединение трех прямых, так как его уравнение представляет собой произведение уравнений этих прямых, то есть уравнений первой степени. Чтобы различить эти две ситуации, говорят, что эллиптическая кривая называется неприводимой, а объединение трех прямых представляет собой так называемый вырожденный случай. Имеем:

Предложение. Пусть С — неприводимая кубическая кривая, a C 1и С 2— две произвольные кубические кривые. Пусть С и С 1пересекаются в девяти точках, восемь из которых принадлежат пересечению С и С 2. Тогда этому же пересечению будет принадлежать и девятая точка.

Применив это утверждение в нашем случае с эллиптической кривой, С 1и С 2, получим, что точка Т принадлежит Сг Единственная точка, которой нам не хватало для определения С 2и С, — это точка пересечения кривой и прямой, соединяющей Р и Q + R. Этой точкой обязательно будет точка Т, что и требовалось доказать. Итак, мы доказали свойство ассоциативности, таким образом, определенная нами операция является групповой. Кроме того, заметим, что мы получили абелеву группу, так как при построении Р + Q используется прямая, соединяющая Р и Q, а ее расположение не зависит от того, в каком порядке мы рассмотрим точки.

Следовательно, рациональные точки на эллиптической кривой, которые мы обозначим Е (Q), определяют группу. В 1922 году математик Луис Морделл в поисках ответа на вопрос Пуанкаре доказал следующую теорему:

105

Теорема Морделла. Абелева группа E(Q) порождена конечным числом элементов.

Иными словами, существует конечное число рациональных решений уравнения у²=х 3+ ах + b, на основе которых можно восстановить все остальные путем последовательного применения групповой операции. Как мы показали, конечнопорожденная абелева группа всегда имеет вид

Z' × Z/n 1×...× Z/n k.

Число копий группы целых чисел, используемых в этом выражении, называется рангом эллиптической кривой. Определить это число крайне сложно. Между прочим, одна из важнейших открытых задач современности (за ее решение полагается премия в один миллион долларов), гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера, заключается в том, чтобы выразить ранг эллиптической кривой через другие аналитические инварианты. Впрочем, эллиптические кривые нужны не только для того, чтобы заработать миллион долларов: они сыграли важнейшую роль в доказательстве великой теоремы Ферма, а также помогли улучшить алгоритмы шифрования данных с открытым ключом.

ВЕЙЛЬ: В своей диссертации я доказал, что теорема Морделла верна и для кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней. Более того, Морделл подозревал, что выполняется более строгое условие: группа решений является не только конечнопорожденной, но и конечной; иными словами, в ее разложении не может фигурировать никакая копия группы целых чисел. Именно эту гипотезу хотел доказать Жак Адамар, однако найти искомое доказательство удалось лишь в 1983 году.

ЛЕВИ-СТРОСС: Благодарю вас, господин Вейль: ваши объяснения открыли мне дорогу в новый мир. Но позвольте попросить вас об услуге: давайте и дальше следовать прежнему методу! Раз уж нам суждено учиться вместе, мы спокойно можем беседовать, «не боясь наказанья судьбы, любви, времени и смерти».

106