Брайан Кокс - Почему Е=mc²? И почему это должно нас волновать

Для того чтобы углубиться в ситуацию, давайте посмотрим на те части нашего нового вектора импульса в пространстве-времени, которые указывают направление в пространстве и времени по отдельности. Увы, здесь нам не обойтись без математики. Приносим извинения читателям, не владеющим глубокими математическими знаниями, и обещаем продвигаться очень медленно. Помните: у вас всегда есть возможность бегло просмотреть уравнения и перейти к заключительным выводам. Математика делает приведенные здесь доводы более убедительными, но вы вполне можете продолжать чтение, не углубляясь в детали. Точно так же хотим извиниться и перед читателями, знакомыми с математикой, за слишком подробное изложение материала. Но ведь нельзя угодить всем сразу!

Ранее мы с вами вывели выражение для длины вектора импульса в трехмерном пространстве – m ∆ x/ ∆ t . Мы исходили из того, что ∆ x следует заменить на ∆ s , а ∆ t – на ∆ s/c , для того чтобы получить четырехмерный вектор импульса, который имеет на первый взгляд неинтересную длину mc . Потерпите нас еще один абзац и позвольте написать замену для ∆ t , то есть для ∆ s/c , в полном виде: ∆ s/c равно √(( c ∆ t )² − (∆ x )²) ÷ c . Это несколько громоздкое выражение, однако небольшая математическая манипуляция позволяет записать его в более простом виде: ∆ t/ γ, где γ = 1 ÷ √(1 − v ² ÷ c²). Для получения этой формулы мы использовали тот факт, что скорость объекта рассчитывается как v = ∆ x/ ∆ t . В таком случае γ – это не что иное, как множитель, о котором шла речь в главе 3, выражающий величину замедления времени с точки зрения того, кто наблюдает за быстро пролетающими мимо часами.

В действительности мы уже почти добрались до цели. Смысл всех этих математических выкладок состоит в том, что они позволяют определить, в какой степени вектор импульса указывает направление в пространстве и времени по отдельности. Для начала давайте вспомним, как мы поступали с вектором импульса в трехмерном пространстве. Рис. 11 поможет нам представить себе эту ситуацию. Трехмерный вектор импульса ориентирован в ту же сторону, что и стрелка на рисунке, поскольку он указывает в том направлении, в котором движется шар. Разница лишь в том, что изменится длина вектора, потому что нам необходимо умножить длину стрелки на массу шара и разделить на временной интервал. Аналогичная ситуация складывается и для четырехмерного вектора. Теперь вектор импульса указывает направление в пространстве-времени, в котором движется шар, что соответствует направлению стрелки на рис. 12. В этом случае для получения вектора импульса нам следует изменить масштаб длины стрелки, но на сей раз раз мы должны умножить ее на массу шара и разделить на инвариантную величину ∆ s/c (которая, как мы продемонстрировали выше, равна ∆ t/ γ). Если вы внимательно посмотрите на стрелку на рис. 12, то увидите, что, если мы захотим изменить длину на определенную величину, сохранив при этом направление, нужно просто изменить часть, указывающую в направлении x (∆ x ), и часть, указывающую в направлении времени ( c ∆ t ), в одинаковое количество раз. Таким образом, длина части вектора импульса, которая указывает в направлении пространства, представляет собой ∆ x , умноженное на m и деленное на ∆ t/ γ, что можно записать как γ m ∆ x/ ∆ t . Если вспомнить, что v = ∆ x/ ∆ t – это скорость движения объекта в пространстве, то мы получим следующий ответ: часть вектора импульса в пространстве-времени, указывающая в направлении пространства, имеет длину, равную γ mv .

Теперь все становится действительно интересным: вектор импульса в пространстве-времени, который мы только что построили, никак нельзя назвать скучным. Если скорость v нашего объекта намного меньше скорости света c , значение γ оказывается очень близко к единице. В этом случае мы снова получаем старый импульс, а именно – произведение массы на скорость: p = mv . Это очень обнадеживает, так что давайте двигаться дальше. В действительности нам удалось сделать нечто гораздо большее, чем просто преобразовать старый трехмерный импульс в новую четырехмерную структуру. Начнем с того, что мы получили, по-видимому, более точную формулу, поскольку значение γ может быть равным единице, только когда скорость равна нулю.

Но то, что мы увидим, когда рассмотрим часть вектора импульса, указывающую в направлении времени, еще интереснее, чем модифицированная формула p = mv . После всего, что мы уже проделали, нам нетрудно будет выполнить соответствующие расчеты (ответ показан на рис. 13). Длина части нового вектора импульса, которая указывает в направлении времени, равна значению c ∆ t , умноженному на m и деленному на ∆ t/ γ, что представляет собой γ mc .