Ричард Фейнман - 9. Квантовая механика II

где j — электрический потенциал, так что q j — потен­циальная энергия. А уравнение (19.1) равнозначно утвержде­нию, что в магнитном поле градиенты в гамильтониане нужно

каждый раз заменять на градиент минус ( iq/h ) А, так что (19.2) пре­вращается в

Это и есть уравнение Шредингера для частицы с зарядом q (нерелятивистской, без спина), движущейся в электромагнитном поле А, j.

Чтобы стало ясно, что оно правильно, я хочу проиллюстриро­вать это простым примером, когда вместо непрерывного случая имеется линия атомов, расставленных на оси x на расстоянии b друг от друга, и существует амплитуда — К того, что электрон перепрыгнет в отсутствие поля от одного атома к другому. Тогда, согласно уравнению (19.1), если имеется вектор-потен­циал А x (х, t) в x -направлении, то амплитуда перескока по сравнению с тем, что было раньше, изменится, ее придется домножить на exp[( iq/h)A x b ] — экспоненту с показателем, равным произведению iq/h на векторный потенциал, проинтегрирован­ный от одного атома до другого. Для простоты мы будем писать ( q/h ) A x єf(x), поскольку А х , вообще говоря, зависит от х. Если обозначить через С(х)єС n амплитуду того, что электрон обнаружится возле атома n, расположенного в точке х, то скорость изменения этой амплитуды будет даваться уравнением

В нем три части. Во-первых, у электрона, который находится в точке х, есть некоторая энергия Е 0 . Это, как обычно, дает член Е 0 С ( х ) . Затем имеется член — КС(х+b), т. е. амплитуда того, что электрон от атома n +1, расположенного в х+b, отпрыг­нул на шаг назад. Однако если это происходит в присутствии век­торного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться со­гласно правилу (19.1). Если А х на расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать по­просту в виде значения А х посредине, умноженного на расстоя­ние. Итак, произведение (iq/h) на интеграл равно ibf(x+b/2). А раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. И точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз уже бе­рется векторный потенциал с другой стороны от х, на расстоя­нии b/2, и умножается на расстояние b. Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окажется в точке х.

Но дальше мы знаем, что если функция С ( х )достаточно плав­ная (мы берем длинноволновый предел) и если мы сдвинем ато­мы потеснее, то уравнение (14.4) (стр. 80) будет приблизитель­но описывать поведение электрона в пустоте. Поэтому следую­щим шагом явится разложение обеих сторон (19.4) по степеням b, считая b очень малым. К примеру, если b= 0 , то правая часть будет равна просто (Е 0 - 2 К)С(х), так что в нулевом приближе­нии энергия равняется Е 0 - 2 К. Затем пойдут степени b, но из-за того, что знаки показателей экспонент противоположны, оста­нутся только четные степени. В итоге, если вы разложите в ряд Тэйлора С(х), f(x) и экспоненты и соберете затем члены с b 2, вы получите

(штрихи обозначают дифференцирование по х).

Это ужасное нагромождение разных букв выглядит очень сложно. Но математически оно в точности совпадает с

Вторая скобка, действуя на С ( х ) , даст С' ( х )минус if(x)C ( x ) . Первая скобка, действуя на эти два члена, даст член с С", члены с первыми производными f ( x ) и с первой производной С ( х ) . А теперь вспомните, что решения в нулевом магнитном поле (см. гл. 11, §3) изображают частицу с эффективной массой m эфф, даваемой формулой

Kb 2 = h/m эфф

Если вы затем положите Е 0 =+ 2 К и снова вернетесь к f ( x ) = ( q/h ) A x , то легко убедитесь, что (19.6) это то же самое, что первая часть (19.3). (Происхождение члена с потенциальной энергией хорошо известно, и я не буду им заниматься.) Утверж­дение (19.1) о том, что векторный потенциал умножает все амп­литуды на экспоненциальный множитель, равнозначно правилу, что оператор импульса ( h/i )Сзаменяется на (h /i )С- q A, как мы и сделали в уравнении Шредингера (19.3).