Ричард Фейнман - 8. Квантовая механика I

Итак, начав просто с некоторых предположений о свойст­вах пространства, мы вывели преобразование амплитуды при любом повороте. Это означает, что если нам известны ампли­туды того, что любое состояние частицы со спином 1/ 2перейдет в один из двух пучков прибора Штерна — Герлаха S с осями х, у, z, то мы можем подсчитать, какая часть перейдет в каж­дый пучок в приборе Т с осями х', у' и z'. Иначе говоря, если имеется состояние y частицы со спином 1/ 2, у которого ам­плитуды пребывания вверху и внизу по отношению к оси z системы координат х, у, z равны С +=<+|y> и С -=<-|y>, то тем самым мы знаем амплитуды С + и C -пребывания вверху и внизу по отношению к оси z' любой другой системы х', у", z' , Четверка коэффициентов в (4.35) — это члены «матрицы преобразования», с помощью которой можно проецировать амплитуды частицы со спином 1/ 2в другие системы ко­ординат.

Теперь решим несколько примеров, чтобы посмотреть, как все это работает. Возьмем следующий простой вопрос. Пустим атом со спином 1/ 2через прибор Штерна — Герлаха, пропу­скающий только состояние (+z). Какова амплитуда того, что атом окажется в состоянии (+ x )? Ось + х — это все равно, что ось +z' системы, повернутой на 90° вокруг оси у. Поэтому в этой задаче проще воспользоваться выражением (4.32), хотя, конечно, можно применить и полное уравнение (4.35). По­скольку С + =1 и С - =0, то получится С' + =1/Ц2. Вероятности -это квадраты модулей этих амплитуд; таким образом, 50% шансов за то, что частица пройдет сквозь прибор, отбирающий состояние ( +х ) . Если бы мы поинтересовались состоянием (- х ) , то амплитуда оказалась бы -1/Ц2, что опять дало бы вероятность 1/ 2, чего и следовало ожидать из симметрии про­странства. Итак, если частица находится в состоянии (+z), то ей в равной степени вероятно побывать в состояниях (+ x ) и (- х ) . Но фазы противоположны.

Ось у тоже без претензий. Частица в состоянии (+ z ) имеет равные шансы быть в состоянии (+у) или (- у ) . Но теперь (согласно формуле для поворота на -90° вокруг оси х) амплитуды суть l/Ц2 и - i /Ц2. В этом случае разница в фа­зах двух амплитуд уже не 180°, как было для ( +х )и (- х ) , а 90°. В этом-то и проявляется различие между х и у.

Вот еще пример. Пусть нам известно, что частица со спином 1/ 2находится в состоянии y, поляризованном вверх относи­тельно оси А, определяемой углами q и j (фиг. 4.10).

Фиг. 4.10. Ось А, определяе­мая полярными углами q и j .

Мы хо­тим знать амплитуду +|y> того, что частица относительно оси z окажется в состоянии «вверх», и амплитуду -|y> того, что она окажется в состоянии «вниз» относительно той же оси z. Эти амплитуды мы можем найти, вообразив, что А есть ось z' системы, у которой ось х' направлена произвольно, ска­жем лежит в плоскости, образованной А и z. Тогда можно перевести систему А в систему х, у, z тремя поворотами. Во-первых, надо сделать поворот на -p/2 вокруг оси A , что пере­ведет ось x в линию В на рисунке. Затем повернуть на — 0 вокруг линии В (вокруг новой оси х системы А), чтобы ось А попала на ось z. И, наконец, повернуть вокруг оси z на угол (p/2-j).

Вспоминая, что вначале было только одно состояние (+) по отношению к А, получаем

Мы хотели бы напоследок подытожить результаты этой главы в форме, которая окажется полезной для нашей даль­нейшей работы. Во-первых, напомним, что наш основной ре­зультат (4.35) может быть записан в других обозначениях. Заметьте, что (4.35)— это то же самое, что и (4.4) Иначе го­воря, в (4.35) коэффициенты при С +=<+S|y> и C' -= <- S |y> суть как раз амплитуды < jT | iS >в (4.4), амплитуды того, что частица в состоянии i по отношению к S окажется в состоя­нии j по отношению к Т (когда ориентация Т по отношению к S дается углами a, b и g) . Мы их также называли R TS ji в выра­жении (4.6). (Чего-чего, а обозначений у нас хватало!) Например, — это коэффициент при С + в формуле для С -, а именно i sin(a/2)exp[ i (b-g ) /2] . Поэтому сводку наших ре­зультатов мы можем дать в виде табл. 4.1.