Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Итак, мы видим, что существуют решетки, обладающие «четырехсторонней» симметрией. А раньше мы описали плотную упаковку, основанную на шестиугольнике и обладающую шестисторонней симметрией. Вращение набора кружков на фиг. 30.5, а на угол 60° вокруг центра любого шарика пере­водит рисунок сам в себя.

Какие виды вращательной симметрии существуют еще? Может ли быть, например, вращательная симметрия пятого или восьмого порядка? Легко понять, что они невозможны. Единственная симметрия, связанная с фигурой, имеющей более четырех сторон, есть симметрия шестого порядка. Прежде всего покажем, что симметрия более чем шестого порядка невозмож­на. Попытаемся вообразить решетку с двумя равными основ­ными векторами, образующими угол менее 60° (фиг. 30.8, а).

Фиг. 30.8. Симметрия вра­щения выше шестого порядка невозможна (а); симметрия вращения пятого порядка невозможна (б).

Мы должны предположить, что точки В и С эквивалентны А и что аи b— наиболее короткие векторы, проведенные из А до эквивалентных соседей. Но это, безусловно, неверно, потому что расстояние между В и С короче, чем от любого из них до А. Должна существовать соседняя точка D, эквивалентная А, ко­торая ближе к А, чем к В или С. Мы должны были бы выбрать b' в качестве одного из основных векторов. Поэтому угол между основными векторами должен быть равен 60° или еще больше. Октагональная симметрия невозможна.

А как быть с пятикратной симметрией? Если мы предполо­жим, что основные векторы аи bимеют одинаковую длину и образуют угол 2p/5=72° (фиг. 30.8, б), то должна существовать эквивалентная точка решетки в D под 72° к линии АС. Но век­тор b' от Е к D тогда короче b, и bуже не основной вектор. Пятикратной симметрии быть не может. Единственные воз­можности, не приводящие к подобным трудностям, это q=60, 90 или 120°. Очевидно, допустимы также нуль и 180°. Можно еще так выразить полученный нами результат: рисунок может не меняться при повороте на полный оборот (ничего не изме­няется), полоборота, одну треть, одну четверть или одну ше­стую оборота. И этим исчерпываются все возможные вращатель­ные симметрии на плоскости — всего их пять. Если 8=2p/n, то мы говорим об «n-кратной» симметрии, или симметрии n-го порядка. Мы говорим, что узор, для которого n равно 4 или 6, обладает более «высокой симметрией», чем узор с n , равным 1 или 2.

Вернемся к фиг. 30.7, а. Мы видим, что узор там обладает четырехкратной вращательной симметрией. На фиг. 30.7, б мы нарисовали другое расположение, которое обладает теми же свойствами симметрии, что и фиг. 30.7, а. Маленькие фигурки, похожие на запятые,— это асимметричные объекты, которые служат для определения симметрии изображения внутри каж­дого квадратика. Заметьте, что запятые в соседних квадратиках перевернуты попеременно, так что элементарная ячейка боль­ше одного квадратика. Если бы запятых не было, рисунок по-прежнему обладал бы четырехкратной симметрией, но эле­ментарная ячейка была бы меньше. Посмотрим внимательно на фиг. 30.7; мы обнаружим, что они обладают еще и другими типами симметрии. Так, отражение относительно каждой пунк­тирной линии R—R воспроизводит рисунок без изменений. Но это еще не все. У них есть еще один тип симметрии. Если отразить рисунок относительно линии y —y , а затем сдвинуть на один квадратик вправо (или влево), то снова получится пер­воначальный рисунок. Линия у—у называется линией сколь­жения.

Этим исчерпываются все типы симметрии в пространстве двух измерений. Есть еще одна пространственная операция сим­метрии, которая на плоскости эквивалентна вращению на 180°, однако в трехмерном пространстве она не сводится к этому вра­щению, а есть совсем другая операция. Я говорю об инверсии. Под инверсией мы подразумеваем такую операцию, когда лю­бая точка, отвечающая вектору смещения из начала координат R(например, точка А на фиг. 30.9, б), переносится в точку — R.

Фиг. 30.9. Операция симметрии, называемая инверсией.

а — рисунок меняется; б — рисунок не меняется при преобразовании R ® - R ;