Сделаем еще одно замечание. Уравнение D = eE представляет собой попытку описать свойства вещества. Но вещество исключительно сложно по своей природе, и подобное уравнение на самом деле неправильно. Так, если Е становится очень большим, D перестает быть пропорциональным Е. В некоторых веществах пропорциональность нарушается уже при достаточно слабых полях. Кроме того, «константа» пропорциональности может зависеть от того, насколько быстро Е меняется со временем. Следовательно, уравнение такого типа есть нечто вроде приближенного уравнения типа закона Гука. Оно не может быть глубоким, фундаментальным уравнением. С другой стороны, наши основные уравнения для Е (10.17) и (10.19) выражают наиболее полное и глубокое понимание электростатики.
§ 5. Поля и силы в присутствии диэлектриков
Мы докажем сейчас ряд довольно общих теорем электростатики для тех случаев, когда имеются диэлектрики. Мы уже видели, что емкость плоского конденсатора при заполнении его диэлектриком увеличивается в определенное число раз. Сейчас можно показать, что это верно для емкости любой формы, если вся область вокруг двух проводников заполнена однородным линейным диэлектриком. В отсутствие диэлектрика уравнения, которые требуется решить,
такие:
Когда имеется диэлектрик, первое из этих уравнений изменяется, и мы получаем
(10.26)
Далее, поскольку мы считаем и всюду одинаковой, последние два уравнения можно записать в виде
(10.27)
Следовательно, для хЕ получаются такие же уравнения, как для Е 0, и тогда они имеют решение хЕ = Е 0. Другими словами, поле всюду в х раз меньше, чем в отсутствие диэлектрика. Поскольку разность потенциалов есть линейный интеграл от поля, она уменьшится во столько же раз. А так как заряд на электродах конденсатора в обоих случаях тот же самый, то уравнение (10.2) говорит, что емкость в присутствии всюду однородного диэлектрика увеличивается в х раз.
Зададимся теперь вопросом, как взаимодействуют два заряженных проводника в диэлектрике. Рассмотрим жидкий диэлектрик, повсюду однородный. Мы уже видели раньше, что один из способов найти силу — это продифференцировать энергию по соответствующему расстоянию. Если заряды на проводниках равны и противоположны по знаку, то энергия U — Q Z /2C, где С — их емкость. С помощью принципа виртуальной работы любая компонента силы получается некоторым дифференцированием; например,
(10.28)
Поскольку диэлектрик увеличивает емкость в х раз, все силы уменьшатся в такое же число раз.
Однако все это не так просто. Сказанное справедливо, только если диэлектрик жидкий. Любое перемещение проводников, окруженных твердым диэлектриком, изменяет условия механических напряжений в диэлектрике и его электрические свойства, а также несколько меняет механическую энергию диэлектрика. Движение проводников в жидкости не меняет свойств жидкости. Жидкость перетекает в другое место, но ее электрические свойства остаются неизменными.
Во многих старых книгах по электричеству изложение начинается с «основного» закона, по которому сила, действующая между двумя зарядами, есть
(10.29)
а эта точка зрения абсолютно неприемлема. Во-первых, это не всегда верно; это справедливо только в мире, заполненном жидкостью; во-вторых, так получается лишь для постоянного значения х, что для большинства реальных материалов выполняется приближенно.
Гораздо легче начинать со всегда справедливого (для неподвижных зарядов) закона Кулона для зарядов в вакууме.
Что же происходит с зарядами в твердом теле? На это трудно ответить, потому что даже не вполне ясно, о чем идет речь. Если вы вносите заряды внутрь твердого диэлектрика, то возникают всякого рода давления и напряжения. Вы не можете считать работу виртуальной, не включив сюда также механическую энергию, необходимую для сжатия тела, а отличить однозначным образом электрические силы от механических, возникающих за счет самого материала, вообще говоря, очень трудно. К счастью, никому на самом деле не бывает нужно знать ответ на предложенный вопрос. Иногда нужно знать величину натяжений, которые могут возникнуть в твердом теле, а это можно вычислить. Но результаты здесь оказываются гораздо сложнее, чем простой ответ, полученный нами для жидкостей.
Читать дальше