Ричард Фейнман - 5b. Электричество и магнетизм

Ясно, что для каждого поля В векторный потенциал А не един­ственный; существует много возможностей.

Фиг. 14.1. Однородное маг­нитное поле В, направленное по оси z, соответствует векторному потенциалу А (А=Вr'/2), который вращается вокруг оси z. т' — расстояние до оси z.

Третье решение [уравнение (14.8)] обладает рядом интерес­ных свойств. Поскольку x-компонента пропорциональна -y, а y-компонента пропорциональна -+x, то вектор А должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси z, кото­рый мы обозначим r' (штрих означает, что это не вектор рас­стояния от начала). Кроме того, величина А пропорциональна Ц(x 2+y 2) и, следовательно, пропорциональна r '. Поэтому А (для однородного поля) может быть записано просто

(14.9)

Векторный потенциал А равен по величине Br ' / 2 , и вращается вокруг оси z, как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле В есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный по­тенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде.

Векторный потенциал однородного поля может быть полу­чен и другим способом. Циркуляция А вдоль любой замкнутой петли Г может быть выражена через поверхностный интеграл от СXА с помощью теоремы Стокса [уравнение (3.38), стр. 63]

(14.10)

Но интеграл справа равен потоку В сквозь петлю, поэтому

(14.11)

Итак, циркуляция А вдоль всякой петли равна потоку В сквозь петлю. Если мы возьмем круглую петлю радиуса r' в плоско­сти, перпендикулярной однородному полю В, то поток будет в точности равен

Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что А можно считать направленным по касательной и функцией толь­ко от r', то циркуляция будет равна

Как и раньше, получаем

В только что разобранном примере мы вычисляем вектор­ный потенциал из магнитного поля, обычно поступают наоборот. В сложных задачах всегда проще найти векторный потенциал, а затем уже из него найти магнитное поле. Сейчас мы покажем, как это можно сделать.

§ 2. Векторный потенциал заданных токов

Раз В определяется токами, значит, и А тоже. Мы хотим теперь выразить А через токи. Начнем с нашего основного уравнения (14.2):

откуда, конечно, следует

Это уравнение для магнитостатики; оно похоже на уравнение

(14.13)

для электростатики.

Наше уравнение (14.12) для векторного потенциала ста­нет еще более похожим на уравнение для j, если перепи­сать СX(СX А), используя векторное тождество [см. уравне­ние (2.58) стр. 44]

(14.14)

Поскольку мы выбрали С·А=0 (и теперь вы видите, по­чему), уравнение (14.12) приобретает вид

(14.15)

Фиг. 14.2. Векторный потенциал А в точке 1 определяется интегралом по элементам тока jdV во всех точках 2.

Это векторное уравнение, конечно, распадается на три урав­нения

и каждое из этих уравнений математически идентично уравнению

(14.17)

Все, что мы узнали о нахождении потенциала для извест­ного r, можно использовать для нахождения каждой компо­ненты А, когда известно j!