Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук

Фиг. 51.9. Волны, на глубокой воде образуются частицами, движущимися по окружности.

Обратите внимание на систематический сдвиг фазы от одной окружности к другой. Кок может при этом двигаться плавающий предмет?

Очень интересно определить скорость таких волн. Это дол­жно быть какой-то комбинацией плотности воды, ускорения силы тяжести, которая в данном случае является восстанавли­вающей силой, и, возможно, длины волны и глубины. Если мы рассмотрим случай бесконечной глубины, то скорость больше не будет зависеть от нее. Но какую бы формулу для фазовой скорости волн мы ни взяли, она должна содержать эти величины в такой комбинации, чтобы давать правильную размерность. Испробовав множество различных способов, мы найдем, что только одна комбинация g и l может дать нам размерность ско­рости, именно Ц gl, которая совсем не включает плотности. На самом деле эта формула для фазовой скорости не вполне точна, и полный анализ динамики, в который мы не будем входить, показывает, что все действительно получится так, как у нас, за исключением Ц2p , т . е.

v фаз=Цgl/2p (для волн «тяжести»).

Интересно, что длинные волны бегут быстрее коротких. Так что когда проходящая вдали моторная лодка создает волны, то после некоторого промежутка времени они достигнут берега, но сначала это будут редкие всплески, поскольку первыми приходят длинные волны. Затем приходящие волны становятся все короче и короче, ибо скорость падает как квадратный ко­рень из длины волны.

«Это же неверно,— может возразить кто-нибудь,— ведь чтобы делать такое утверждение, мы должны смотреть на групповую скорость». Правильно, конечно. Формула для фазо­вой скорости не говорит нам о том, что приходит первым; об этом может нам сказать только групповая скорость. Так что мы должны получить групповую скорость и мы сможем показать, что она равна половине фазовой скорости. Для этого нужно только вспомнить, что фазовая скорость ведет себя как квадрат­ный корень из длины волны. Так же, т. е. как квадратный ко­рень из длины волны, ведет себя и групповая скорость. Но как может групповая скорость быть вдвое меньше фазовой? Посмот­рите на группу волн, вызванных проходящей мимо лодкой, и проследите за каким-то определенным гребнем. Вы обнаружите, что он бежит вместе с группой, но постепенно становится все меньше и меньше, а дойдя до переднего фронта, совсем умирает. Но таинственным и непостижимым образом на смену ему с заднего фронта поднимается слабенькая волна и становится она все сильнее и сильнее. Короче говоря, по группе движутся вол­ны, тогда как сама группа движется вдвое медленнее этих волн.

Поскольку групповая и фазовая скорости не равны друг другу, то волны, вызванные движущимся объектом, будут уже не просто коническими, а гораздо более сложными и интерес­ными. Вы можете видеть это на фиг. 51.10, где показаны волны, вызванные движущейся по воде лодкой.

Фиг. 51.10. След про­шедшей моторной лодки.

Заметьте, что они сов­сем не похожи на то, что мы получали для звука (когда скорость не зависит от длины волны), где фронт волны был просто рас­пространяющимся в стороны конусом. Вместо него мы получили волны позади движущегося объекта, фронт которых перпенди­кулярен его движению, да еще движущиеся под другими угла­ми небольшие волны с боков. Всю эту картину движения волн в целом можно очень красиво воссоздать, зная только, что фа­зовая скорость пропорциональна квадратному корню из длины волны. Весь фокус заключается в том, что картина волн стацио­нарна относительно лодки (движущейся с постоянной скоро­стью); все другие виды волн отстанут от нее.

До сих пор мы рассматривали длинные волны, для которых восстанавливающей силой была сила тяжести. Но когда волны становятся очень короткими, то основной восстанавливающей силой оказывается капиллярное притяжение, т. е. энергия по­верхностного натяжения. Для волн поверхностного натяжения фазовая скорость равна

v фаз=Ц2pT/lr(для ряби),

где Т — поверхностное натяжение, а r — плотность. Здесь все наоборот: чем короче длина волн, тем большей оказывается фа­зовая скорость. Если же действуют и сила тяжести и капилляр­ная сила, как это обычно бывает, то мы получаем комби­нацию