Александр Филиппов - Многоликий солитон

Возвращаясь к углу φ, находим, что

Чтобы получить отсюда уравнение (4.6), достаточно положить S = ½ω 0 t . Тогда φ ' = 2ω 0cos(φ/2), а условие tgψ = exp(-2 S ) дает

Мы показали, что угол φ( t ) зависимость которого от t определена этим уравнением, удовлетворяет уравнение (4.6). Общее решение уравнения (4.6) можно найти сдвигом начала отсчета времени, т. е. заменой в формуле (4.9) t на t + t 0. Если угол φ близок к π, то для α = (π - φ)/4 получим из (4.9), что α = ехр(-ω 0 t ) (так как tg α α). Таким образом, α удовлетворяет уравнению (4.7).

3. В заключение приведем некоторые солитонные уравнения и их простейшие решения.

Уравнение КдФ написано на с. 217, а его солитонное решение на с. 222, формулы (7.1), (7.2). Обычно это уравнение записывают для безразмерной функции u = 3 y /4 h от безразмерных переменных

где точка обозначает производную по Т , а штрих — производную по X . Солитонное решение в новых переменных

u = 6 k /ch 2[ k ( Х - VT )],

где k — произвольное число, а V = 1 + 4 k 2(сравните это с (7.1) и (7.2)). Если заменить в уравнении КдФ и u 2на u З, то получим модифицированное уравнение КдФ (или мКдФ), также часто встречающееся в приложениях. Его солитонное решение имеет простой вид

u = k /ch [ k ( Х - VT )], V = 1 + k 2.

Уравнение «синус-Гордона» приведено в тексте на с. 181, формула (6.11). Обычно его записывают для функции u = π + φ от безразмерных переменных Т = ω 0 t и Х = ω 0 x / v 0:

Как следует из (6.5), его односолитонное решение имеет вид

Два солитона описываются решением

u = 4 aгctg [ V sh (β X )/ch (β VT )],

солитон-антисолитон решением

u = 4 aгctg [ V -1sh (β VT )/ch (β Х )],

а бризер есть

u = 4 aгctg [ α sin ( ЬТ )/ Ь сh ( αХ )], α 2+ Ь 2= 1.

Приведем еще солитонное решение уравнений цепочки Тоды:

где u n — безразмерные координаты частиц в цепочке. Солитонное решение этих уравнений описывается формулами

α — произвольное число. Заметим, что дискретизованное уравнение КдФ имеет вид

а уравнения Тоды в континуальном пределе приводят к уравнению Буссинеска

которое иногда называют уравнением нелинейной струны.

Наконец, полезно знать простейшее уравнение нелинейной диффузии (Хаксли)

и его решение в виде уединенной волны

С другими уравнениями и их солитонными решениями читатель может познакомиться по книгам: Солитоны в действии/Под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта. — М.: Мир, 1981; Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. В этих книгах описаны и многие физические приложения теории солитонов.

4. В этой книге мы не касались математической теории солитонов. Ее основы были заложены в конце 60-х — начале 70-х годов. Развитие математической теории солитонов началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры, в которой был предложен метод решения уравнения КдФ (1967 г.). В следующем году П. Лакс существенно обобщил этот метод. В 1971 г. В. Е. Захаров и А. Б. Шабат распространили идеи ГГKM на другие типы уравнений, в частности на нелинейное уравнение Шредингера. В том же году В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев доказали полную интегрируемость уравнения КдФ, рассматривая его как бесконечномерную гамильтонову систему уравнений. Во всех этих работах разрабатывался так называемый метод «обратной задачи рассеяния», в котором решение нелинейных уравнений сводилось к решению некоторых линейных уравнений, связанных с квантово-механической теорией рассеяния. В том же году Р. Хирота предложил прямой метод построения солитонных решений различных уравнений, использующий более простой математический аппарат. С работы Абловица, Каупа, Ньюэлла и Сигура (1973 г.) началась систематизация интегрируемых уравнений и классификация различных типов солитонов, в частности была доказана полная интегрируемость уравнения «синус-Гордона» и начались поиски других солитонов. В 1974 — 1975 гг. был найден общий подход к построению точных периодических решений уравнения КдФ (С. П. Новиков и др.), опирающийся на глубокие математические результаты Римана, Абеля и Якоби. Развитие этого подхода недавно привело к установлению нетривиальных связей между математической теорией солитонов и теорией струн.