Дэвид Дойч - Начало бесконечности

Теперь вычисление может восприниматься и как вычисление функции , которая берёт произвольное натуральное число и выдаёт результат, который определённым образом зависит от исходного числа. Так, например, удвоение числа — это функция. Чтобы попросить постояльцев перейти в другой номер, администрация отеля «Бесконечность», вообще говоря, задаёт функцию и просит постояльцев выполнить её с разными исходными данными (число на двери номера). Один из выводов, к которому пришёл Тьюринг, заключался в том, что практически все математические функции, которые логически могут существовать, нельзя вычислить никакой программой. Они «невычислимы» по той же причине, по которой большую часть логически возможных перераспределений номеров в отеле «Бесконечность» невозможно воплотить в жизнь какими бы то ни было инструкциями со стороны администраторов: множество всех функций — несчётно бесконечно, а множество программ — лишь счётно бесконечно. (Поэтому имеет смысл говорить, что «почти все» элементы бесконечного множества всех функций имеют определённое свойство.) Это также означает, как выяснил математик Курт Гёдель, по-другому подойдя к задаче Гильберта, что практически все математические истины не имеют доказательства . Это недоказуемые истины.

Также из этого следует, что практически все математические высказывания неразрешимы : ни для их истинности, ни для их ложности доказательства нет. Каждое из них либо верно, либо ложно, но с помощью физических объектов, таких как мозг или компьютер, никак невозможно выяснить, что есть что. Законы физики открывают нам только узкую щель, через которую мы можем заглянуть в мир абстракций.

Все неразрешимые высказывания прямо или косвенно относятся к бесконечным множествам. Противники бесконечности в математике объясняют это тем, что такие высказывания бессмысленны. Но для меня это мощный аргумент в пользу объективного существования абстракций, наряду с аргументом Хофштадтера о числе 641. Ведь это говорит о том, что истинностное значение неразрешимого высказывания, безусловно, не является просто удобным способом описания поведения некоторого физического объекта, например, компьютера или набора домино.

Интересно, что лишь об очень немногих вопросах известно , что они неразрешимы, хотя на самом деле таковыми является большинство, и к этому я ещё вернусь. Но существует много недоказанных математических предположений, и некоторые из них вполне могут оказаться неразрешимыми. Возьмём, например, вопрос о простых числах-близнецах. Простые числа-близнецы — это пара простых чисел, отличающихся на 2, например, 5 и 7. Гипотеза состоит в том, что наибольшей такой пары не существует: их бесконечно много. Предположим в целях текущих рассуждений, что в рамках нашей физики эта гипотеза неразрешима, но разрешима согласно многим другим законам физики. Примером могут служить законы отеля «Бесконечность». То, как конкретно администраторы отеля будут решать вопрос о простых числах-близнецах, для моего повествования неважно, но я опишу этот процесс ради читателей с математическим мышлением. Объявление будет следующим:

Первое. На протяжении следующей минуты, пожалуйста, проверьте, являются ли число на двери вашего номера и число на два больше простыми.

Далее. Если являются, то сообщите через предыдущие по порядку номера, что вы нашли простые числа-близнецы. Для быстрой отправки сообщений воспользуйтесь обычным методом (одна минута на первый шаг, а затем на каждый шаг отводится в два раза меньше времени, чем на предыдущий). Сохраните сообщение в комнате с наименьшим номером из тех, в которых ещё нет такой записи.

Далее. Сверьтесь с номером, следующим по порядку за вашим. Если у этого постояльца нет такой записи, а у вас есть, то сообщите в номер 1, что наибольшая пара простых чисел-близнецов существует.

Через пять минут администраторы будут знать, верна ли гипотеза о простых числах-близнецах.

Так что с математической точки зрения в неразрешимых вопросах, невычислимых функциях, недоказуемых теоремах нет ничего особенного. Они различаются только с точки зрения физики. Из разных физических законов будут вытекать разные бесконечные и разные вычислимые понятия, и разные истины, как математические, так и научные, окажутся при них познаваемыми. Лишь законы физики определяют, какие абстрактные сущности и отношения моделируются с помощью физических объектов, вроде мозга математика, компьютеров и листов бумаги.