Дэвид Дойч - Начало бесконечности

Кроме письма, на заре цивилизации появились и записи чисел . Сегодня математики различают числа , которые представляют собой абстрактные сущности, и их запись — некие физические символы для представления чисел. Первыми были открыты именно они. Сначала считали с помощью «чёрточек» (|,||,|||,||||, …) или счётных единиц, например, камней, которые с доисторических времён использовались для учёта таких дискретных сущностей, как животные или дни [29]. Если каждую выпущенную из загона козу отмечать чёрточкой, а потом, когда коза возвращается, её перечёркивать, то когда все чёрточки окажутся перечёркнутыми, это будет означать, что все козы на месте.

Это универсальная система счёта. Но, аналогично уровням эмерджентности, у универсальности тоже есть иерархия. Следующий уровень после счёта «палочками» — счёт, в котором задействована специальная запись числа. В первом случае, отмечая, сколько коз пришло или ушло, человек думает просто «ещё одна, ещё одна и ещё одна», а считая их, он проговаривает про себя «сорок, сорок одна, сорок две…».

Только задним числом мы можем рассматривать «палочки» как систему счисления и называть её «унарной» («единичной»), и как таковая эта система непрактична. Например, даже простейшие операции с числами, представленными чёрточками, такие как сравнение, арифметические операции и даже просто копирование, влекут за собой повторение всего процесса. Если у вас было сорок коз, вы продали двадцать и отметили оба этих действия с помощью чёрточек, вам всё равно придётся произвести двадцать отдельных операций удаления, чтобы записи соответствовали действительности. Аналогично, чтобы проверить, совпадают ли две сходные на вид записи, пришлось бы вычерчивать их друг под другом и сличать. Поэтому люди начали совершенствовать систему. Наверно, раньше всего придумали просто группировать чёрточки — например, писать вместо ||||||||||. Так сравнивать числа и проводить арифметические операции стало проще, поскольку можно было записывать целые группы и сразу видеть, что отличается от . Позднее и для самих этих групп были подобраны более короткие условные символы: в древнеримской системе использовались символы типа I, V, X, , C, D, и CD для обозначения одного, пяти, десяти, пятидесяти, сотни, пяти сотен и тысячи. (Как видите, это не совсем те «римские цифры», которые мы используем сегодня.)

Это ещё один случай постепенного совершенствования, направленного на решение специфических, обывательских проблем. И снова, по-видимому, никто к большему и не стремился. Хотя добавлением простых правил можно было сделать систему гораздо более функциональной, и даже несмотря на то, что римляне действительно время от времени добавляли некоторые из таких правил, они делали это, не стремясь к универсальности и не достигая её. На протяжении нескольких столетий в этой системе правила были следующие.

— Размещённые рядом символы складываются. (Это правило унаследовано от системы подсчёта «палочек».)

— Символы записываются слева направо в порядке убывания их величины.

— Когда это возможно, смежные символы следует заменять одним, отражающим их суммарное значение.

(Правило вычитания, присутствующее в современной римской системе счисления, по которому IV означает четыре, было введено позже.) Второе и третье правило гарантируют единственность представления каждого числа, что сильно упрощает сравнение. Без этих правил могли бы существовать и XIXIXIXIXIX, и VXVXVXVXV, и никто не мог бы с первого взгляда сказать, что это одно и то же число.

За счёт применения универсальных законов сложения эти правила давали системе одно важное преимущество над подсчётом с помощью «палочек», а именно возможность производить арифметические операции. Например, возьмём числа семь (VII) и восемь (VIII). Согласно правилам поместить их друг за другом VIIVIII — всё равно что сложить их. Затем по правилам нужно переставить символы в порядке убывания их величины: VVIIIII. Затем нужно заменить две V на X и пять I на V. В результате получим XV, что является представлением числа пятнадцать. Но при этом происходит нечто новое, и дело не просто в сокращении записи: открыта и доказана абстрактная истина, связывающая между собой семь, восемь и пятнадцать, и при этом никто ничего не отмечал и не пересчитывал. Мы работали с самими числами, посредством их записей.