Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Эти уравнения довольно сложны, но их решение легко получить геометрическим путем. Чертеж даст вам возможность качественно почувствовать, как возникают соотношения, хотя для вывода точных результатов понадобится преодолеть еще немало математических сложностей.

Написанное выше уравнение можно упростить довольно интересным способом. Опустим неинтересный для нас постоянный член R 0/c (это означает только, что мы изменяем начало отсчета времени t на постоянный отрезок) и запишем

(34.5)

Нам нужно найти х' и у' как функции t, а не τ, и это достигается следующим образом: как подсказывает уравнение (34.5), нужно взять истинное движение заряда и добавить время τ, умноженное на константу (скорость света). На фиг. 34.2 показано, что это означает.

Фиг. 34.2. Геометрический способ определения x'(t) из уравнения (34.5.).

Возьмем истинную траекторию заряда (показанную слева) и представим себе, что по мере движения заряд удаляется от точки Р со скоростью с (здесь нет каких-либо релятивистских сокращений и подобных вещей; это просто математическое добавление cτ). Таким путем получится новая траектория, где по оси абсцисс отложено ct, как показано на рисунке справа. (На рисунке изображена траектория довольно сложного движения в плоскости, но движение может происходить не только в плоскости.) Смысл приведенной процедуры состоит в том, что горизонтальное расстояние в правой части фиг. 34.2 в отличие от левой оказывается равным не z, а z+cτ, т. е. ct. Мы нашли, таким образом, график изменения х' (и у') в зависимости от t! Осталось только определить ускорение на кривой, т. е. продифференцировать ее дважды. Отсюда окончательно заключаем: чтобы найти электрическое поле движущегося заряда, нужно взять траекторию движения и заставить двигаться каждую ее точку от точки наблюдения со скоростью с; полученная кривая дает положения х' и у' как функцию t. Ускорение на этой кривой определит электрическое поле в зависимости от t. Можно, если угодно, представить себе, что вся эта «твердая» кривая движется вперед со скоростью с сквозь плоскость зрения, так что точка пересечения с плоскостью зрения имеет координаты х' и у'. Ускорение этой точки и определит электрическое поле! Полученное решение будет не менее точно, чем формула, из которой мы исходили,— это просто ее геометрическое представление.

Если источник совершает относительно медленное движение, как, например, медленно колеблющийся вверх и вниз осциллятор, то при растягивании этого движения со скоростью света получится простая синусоидальная кривая. Отсюда можно получить формулу для поля, создаваемого осциллирующим зарядом, которую мы видели неоднократно.

Более интересный пример — это электрон, движущийся по окружности со скоростью, близкой к скорости света. Если наблюдатель находится в плоскости движения электрона, запаздывающее движение x'(t) имеет для него вид, изображенный на фиг. 34.3. Что это за кривая?

Фиг. 34.3. Кривая зависимости х'(t) для частицы, вращающейся по окружности с постоянной скоростью v=0,94c.

Если мы представим себе радиус-вектор, проведенный из центра окружности к заряду, и если мы продолжим эти радиальные линии чуть-чуть за заряд (совсем капельку, если заряд движется быстро), то мы придем к точке, которая движется со скоростью света с. Поэтому результирующее движение есть движение заряда, прикрепленного к колесу, которое катится назад (без скольжения) со скоростью с; это дает нам кривую, очень похожую на циклоиду, называется она гипоциклоидой .

Когда заряд движется по окружности со скоростью, близкой к скорости света, пики на кривой становятся очень острыми, а при скорости, равной скорости света, они были бы бесконечно острыми. «Бесконечно острые» пики! Очень интересно; это значит, что вблизи такого пика вторая производная очень велика. Один раз в течение каждого периода возникает мощный и резкий импульс электрического поля. Ничего похожего в случае нерелятивистского движения не бывает, там электрическое поле в течение всего периода принимает значения примерно одного и того же порядка. Вместо этого в случае больших скоростей там возникают резкие импульсы электрического поля с интервалом времени 1/Т 0, где Т 0— период обращения. Это сильное электрическое поле излучается в узком конусе около направления движения заряда. Когда же заряд удаляется от точки наблюдения Р, производная кривой мала и излучение в направлении Р очень слабое.