Грегори Гбур - Загадка падающей кошки и фундаментальная физика

Важный урок открытия геометрических фаз состоит в том, что многие сложные физические задачи имеют под собой красивую геометрическую основу. В случае маятника Фуко геометрия реальна — это шарообразная форма Земли, но и в случае падающих кошек, квантовых частиц и поляризации света можно найти аналогичную геометрию, спрятанную в математике задачи. Стоит вскрыть и показать эту геометрию, и задача становится намного более простой для понимания, в некоторых случаях даже почти тривиальной.

В случае маятника Фуко давайте представим, что для оценки поведения маятника мы построили модель Земли единичного радиуса. По этой модели мы прослеживаем путь маятника по поверхности сферы. Мы можем показать математически, что угол, под которым маятник качается через 24 часа (измеренный не в градусах, а в радианах), равен площади поверхности шара, заключенной между экватором и соответствующей широтной линией {14} .

Для геометрической фазы, открытой Панчаратнамом, мы способны определить запаздывание, возникающее в световой волне, при помощи сферы Пуанкаре . Можно показать, что любое состояние поляризации света отображается на точку на сфере единичного радиуса. На сфере Пуанкаре Северный и Южный полюсы обладают левой (против часовой стрелки) и правой (по часовой стрелке) круговой поляризацией соответственно; на экваторе можно найти любое состояние линейной поляризации; а Северное и Южное полушария представляют все возможные состояния левой и правой эллиптической поляризации соответственно. Любое непрерывное изменение состояния поляризации света может быть изображено как траектория на сфере Пуанкаре — как GPS-навигатор автомобиля отслеживает его маршрут от начала до конца. Если получившаяся траектория замкнута, то есть если поляризация в конечном итоге возвращается в начальное состояние, то фаза Панчаратнама, накопленная светом за время изменения, задается половиной площади поверхности, которую траектория вырезает на сфере.

Задачу с кошкой также можно связать с площадью поверхности подходящей геометрической формы. Для кошки с конкретным отношением длины к обхвату в поясе мы можем описать ее ориентацию — геометрическую фазу — при помощи сферы {15} . Воспользовавшись моделью «сложись и крутись» Радемакера и тер Браака, мы можем сказать, что широта на сфере отражает степень сложения кошки в поясе, а долгота — степень ее скрученности, тоже в поясе; на иллюстрации можно увидеть, как мы находим соответствующую точку. Из этого следует, что любые действия кошки, любые ее повороты и закручивания можно изобразить в виде траектории на сфере и показать, что суммарный поворот кошки как целого при возвращении в нормальное положение равен площади поверхности, которую эта траектория описывает на этой «кошачьей сфере».

Таким образом, подлинная красота геометрической фазы состоит в том, что она позволяет решать очень сложные задачи через использование очень простой геометрии. Посмотрим еще раз на сложную модель переворачивания кошки Кейна и Шера, разработанную в конце 1960-х гг. для NASA. Серьезным ограничением более ранней модели Радемакера и тер Браака было предположение о том, что кошка сохраняет один и тот же изгиб позвоночника все время переворота, хотя совершенно очевидно, что кошка не может изгибаться назад так же хорошо, как вперед. В модели Кейна и Шера кошка уменьшает изгиб спины по мере закручивания и, по существу, в самой его середине резко меняет знак бокового изгиба.

Если мы сравним оба варианта переворота на «кошачьей сфере», то увидим и ограничения модели Радемакера и тер Браака, и разумность модели Кейна и Шера. Взглянув на «кошачью сферу» сверху, мы увидим, что в простой модели Радемакера и тер Браака кошке придется очень сильно выгнуться назад. Напротив, модель Кейна и Шера позволяет избегать чрезмерного прогиба назад. Там кошка, прежде чем завершить движение, быстро переключается с изгиба вправо на изгиб влево.

Понятно, что оптимальным выбором является модель Кейна и Шера: она позволяет окружить траекторией максимальную площадь (и, соответственно, получить максимальный переворот) и при этом не требует, чтобы позвоночник кошки сгибался под невозможными углами. С эволюционной точки зрения движение кошки отточено так, чтобы в максимальной степени использовать все доступные ей сгибания и закручивания.