Александр Китайгородский - Кристаллы

Теперь мы хотим дать читателю современные представления о природе кристалла. Для этого сначала нам придётся поговорить… об обоях. Посмотрите на рисунок 12. На нём изображена девочка, играющая в мяч. И не одна девочка, а много совершенно одинаковых фигурок. Найдём на этом рисунке обоев тот наименьший кусок, который надо нарисовать художнику, иначе говоря, тот кусок, простым перекладыванием которого можно составить все обои. Чтобы выделить такой кусок, проведём из любой точки рисунка, например из центра мячика, две линии, соединяющие выбранный мячик с двумя соседними. На этих линиях можно построить, как это видно на нашем рисунке, параллелограмм. Совершенно ясно, что перекладываниям этого кусочка в направлении основных исходных линий мы можем составить весь рисунок обоев.

Рис. 12. Рисунок этих простеньких обоев помогает нам понять решетчатое строение кристаллов.

Этот наименьший кусок может быть выбран по-разному: из рисунка сразу видно, что можно выбрать несколько разных параллелограммов, каждый из которых содержит одну фигурку. Подчеркнём, что для нас в данном случае безразлично, будет ли эта фигурка внутри выделенного куска целой или разделённой на части линиями, ограничивающими этот кусок.

Было бы неверным полагать, что, изготовив повторяющуюся на обоях фигурку, художник может считать свою задачу оконченной. Это было бы так лишь в том случае, если составление обоев можно было бы провести единственным способом – прикладыванием к данному кусочку, содержащему одну фигурку, другого такого же, параллельно сдвинутого. Однако кроме этого простейшего способа есть ещё шестнадцать способов заполнения обоев закономерно повторяющимся рисунком, то есть, всего существует 17 типов взаимных расположений фигурок на плоскости. Они показаны на рисунке 13 [3].

Рис. 13. 17 типов симметрии плоского узора; элементарные ячейки выделены.

В качестве повторяющегося рисунка здесь выбрана более простая, но, так же как и на рисунке 12, лишённая собственной симметрии фигурка. Однако составленные из неё узоры симметричны, и их различие определяется различием симметрии расположения фигурок.

Мы видим, что, например, в первых трёх случаях рисунок не обладает зеркальной плоскостью симметрии – нельзя поставить вертикальное зеркало так, чтобы одна часть рисунка была «отражением» другой части. Напротив, в случаях 4 и 5 имеются плоскости симметрии. В случаях 8 и 9 можно «установить» два взаимно перпендикулярных зеркала. В случае 10 имеются оси 4-го порядка, перпендикулярные чертежу, в случае 11 – оси 3-го порядка. В случаях 13 и 15 имеются оси 6-го порядка и т.д.

Плоскости и оси симметрии наших рисунков выступают не по одиночке, а параллельными семействами. Если мы нашли одну точку, через которую можно провести ось (или плоскость) симметрии, то найдём быстро и соседнюю, и далее на таком же расстоянии третью и четвёртую и т.д. точки, через которые проходят такие же оси (или плоскости) симметрии.

Выберем теперь на этих узорах такой наименьший кусок, перемещая который параллельно самому себе на расстояния, равные длинам его сторон, мы сможем воспроизвести всю картину обоев. Мы столкнёмся при этом с несколькими интересными обстоятельствами.

Во-первых, этот наименьший кусок, или, как его принято называть, элементарная ячейка может оказаться параллелограммом (например, случай 1 на рисунке 13), прямоугольником (случаи 3 , 4 и др.), ромбом с углом 60° или же квадратом.

Во-вторых, на элементарную ячейку в разных случаях приходится различное число фигурок. Это число равно 1 для случая 1 , 4 для случая 8 , 6 для случая 17 и т.д.

Принято выбирать элементарные ячейки так, чтобы они были наименьшими, но отражали бы симметрию, присущую узору в целом. Так, в случае 9 можно выбрать прямоугольную ячейку, на которую приходится 8 фигурок, и вдвое меньшую косоугольную. Рисунок указывает на высокую симметрию взаимного расположения фигурок – наличие взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии. Косоугольная элементарная ячейка делала бы не очевидной эту высокую симметрию. Поэтому здесь и в других подобных случаях в качестве элементарной ячейки выбирается прямоугольник.