Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

а) входят v, v 0, a, t , но не входит расстояние s ;

б) входят s, v, v 0, t , но не входит ускорение а ;

в) входят s, v 0, а, t , но не входит конечная скорость v .

Впоследствии нам понадобится соотношение, выражающее v через v 0, a, s и не содержащее время t в явном виде. Поскольку мы хотим, чтобы в это соотношение не входило t , мы можем получить его из любых двух прежних соотношений, исключая t . Например, можно использовать соотношения (1) и (3).

В этом случае v= v 0+ 2 atдает t= ( v— v 0)/ a, и, подставляя это выражение в соотношение

s= v 0∙ t = (1/2)∙ at 2

получаем

Приводит ли это соотношение к формуле (4)? Да, если вы наберетесь смелости и воспользуетесь правилами алгебры. Для этого вам придется возводить в квадрат и умножать обе части равенства на одну и ту же величину, перегруппировывать члены и производить упрощение. Вычисления будут громоздкими, но в конечном счете вы получите для v 2выражение v 2 0+ 2 as . Попробуйте, если хотите, проделать эти вычисления.

Математику свойственно ярко выраженное поэтическое чувство формы математического языка, поэтому он счел бы приведенный выше метод чудовищно громоздким. Он сказал бы: «Имеется более изящный вывод…» и получил бы ответ быстро и красиво. Нематематиков, наблюдающих за его действиями, поразит превосходство его знаний, а атмосфера таинства может вызвать даже чувство досады. На самом же деле все обстоит значительно проще. Математик — только человек и, как любой другой исследователь, находит правильный путь в результате нескольких попыток, хотя простые задачи могут быть проделаны уже прежде и просто храниться в его памяти как «математический здравый смысл». Найдя ответ любым методом, громоздким или нет, математик может попытаться действовать от полученного результата, стремясь найти более изящный способ решения, подобно альпинисту, ищущему лучший путь восхождения. В этом нет греха, но математик часто забывает рассказать неспециалисту о той работе, которую он уже проделал прежде, и поражает его изящным методом, как бы извлеченным тут же из кармана. Давайте попробуем провести такой аналитический поиск, размышляя все время вслух. Ответ, который мы хотим получить, представляет собой выражение v 2= v 2 0+ 2 as , полученное в результате утомительных и нудных алгебраических выкладок. Попробуем раскрыть это выражение. Можно ли, судя по его виду, легко видоизменить его путем алгебраических преобразований? Можно ли каким-то очевидным образом упростить или расчленить его? Нет, нельзя. Тогда придется действовать по-другому. Попробуем произвести перенос из одной части равенства в другую. Мы можем прийти к выражению v 2— v 2 0= 2 as . Можно ли, воспользовавшись методами алгебры, без большого труда сделать что-нибудь с этим выражением? Оказывается, можно. Левая часть этого равенства, содержащая множители ( v + v 0)( v — v 0), нам давно знакома. Можно было бы составить левую часть равенства из этих множителей, если бы нам удалось каким-нибудь образом определить их по отдельности. Но где мы видели уже выражение ( v + v 0)? Мы встречались раньше с этим множителем в соотношении (2); s = 1/2( v + v 0) t . Значит, v + v 0= 2 s / t . А где мы встречались с величиной ( v — v 0)? В определении ускорения, которое мы записали в виде a = ( v — v 0)/ t . Следовательно, ( v — v 0) = at . Теперь нам нужно получить величину v 2— v 2 0, для этого достаточно перемножить ( v + v 0) и ( v — v 0). Воспользуемся с этой целью соотношениями ( v + v 0) = 2 s / t и ( v — v 0) = at :

( v+ v 0)( v— v 0) = 2 s/ t( at )

Таким образом, ( v 2— v 2 0) = 2 as , что приводит к нужной нам форме записи.

Теперь, располагая изложенным методом, к которому мы пришли в результате анализа, опустим детали наших изысканий и начнем снова.

Чтобы вывести соотношение v 2 = v 2 0 + 2 as изящным методом, начнем с определения ускорения

a= ( v— v 0)/ t

и с формулы, выражающей пройденный путь через среднюю скорость s = 1/2( v + v 0) t , и просто перемножим оба эти уравнения. Мы получим соотношение a ∙ s = 1/2( v 2— v 2 0), которое приводит к выражению