Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

(3) s= v 0∙ t + (1/2)∙ at 2

Мы по-прежнему хотим выразить пройденное расстояние через время и ускорение , не пользуясь конечной скоростью . Мы получим это соотношение из выражений (1) и (2); с помощью одного из них мы найдем v и сможем поставить это полученное выражение вместо v в другом соотношении. Так,

s= 1/2 ( v 0+ v)∙ tили v= v 0+ at

следовательно,

s= 1/2 ( v 0+ v 0+ at)∙ t = 1/2 (2 v 0+ at)∙ t= (2 v 0∙ t)/2 + ( at∙ t)/2

Таким образом,

s= v 0∙ t+ (1/2)∙ at 2

Это соотношение удобно для экспериментальной проверки и описывает движение с постоянным ускорением.

Если отсчет времени начинается с момента, когда движущееся тело находится в состоянии покоя, то начальная скорость равна нулю, ( v 0= 0), и соотношение приобретает вид

s= (1/2)∙ at 2

Поскольку а постоянно, 1/ 2 а тоже постоянно, поэтому мы можем записать

s= (Постоянная)∙ t 2, или s~ t 2.

Таким образом, мы можем сказать: теория предсказывает, s ~ t 2для движения, которое начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением. Говоря «теория предсказывает», мы имеем в виду, что, исходя из некоторых предположений и используя аппарат логического вывода (включая методы математики), мы как бы выразили эти предположения в несколько иной, новой форме. Если результаты эксперимента согласуются с этой новой формой, мы можем прийти к выводу, что наши предположения (и наш аппарат) «верны» или «подтверждены». Тем не менее зачастую мы не можем быть уверены в том, что выбранные нами предположения дают единственно возможное правильное объяснение. Осторожнее было бы сказать, что пока наши предположения соответствуют фактам.

Если в опытах с падающими телами вы обнаруживаете, что расстояния и промежутки времени с достаточной точностью удовлетворяют соотношению s ~ t 2, то можете сказать, что они удовлетворяют соотношению, предсказанному для движения с постоянным ускорением. Вы могли бы сказать, что падающие тела, по-видимому, движутся с постоянным ускорением. Производя опыты с шарами, скатывающимися вниз по наклонной плоскости, Галилей установил, что пройденные расстояния и промежутки времени довольно хорошо соответствуют соотношению s ~ t 2. Иначе говоря, измеренные Галилеем величины находились в согласии с его предсказанием, основанным на предположении о постоянстве ускорения.

Заметим, что эксперименты не подтвердили правильность этой формулы для движения с постоянным ускорением. Сама формула по необходимости, в силу законов логики, верна для любого движения с неизменным ускорением. Эксперименты показывают лишь, что движение скатывающихся тел в согласии с формулой (вероятно) происходит с постоянным ускорением. Сопоставляя экспериментальные данные с этой формулой, мы можем узнать кое-что о свойствах природы.

Вывод формулы, о которой идет речь, распадается на следующие этапы:

Определение ускорения: мы придумали эту величину, выбрали для нее название и затем стали ею пользоваться.

Выбор для анализа движения с постоянным ускорением. Этот выбор — один из возможных подходов к изучению действительного движения падающих тел. После того как выбор сделан, он позволяет двигаться дальше с помощью алгебры. Делая такой выбор, мы ничего не узнаем о свойствах природы.

Алгебра — своего рода логический автомат. Математика не рождает научные факты, хотя и помогает обнаруживать их.

Предположение , основанное на доводах здравого смысла , согласно которому в качестве v -следует взять величину ( v 0+ v )/2. Это предположение можно подтвердить для движения с неизменным ускорением геометрическими соображениями Галлилея или методами математического анализа.

Снова алгебра

Результат: удобное для экспериментальной проверки соотношение, выведенное исходя из наших предположений.

(4) v 2= v 2 0+ 2 as[Соотношение в этой форме нам еще долго не потребуется. Этот раздел можно временно отложить.]

Мы можем использовать алгебру дальше, заставить наш автомат сделать еще несколько оборотов и получить другие варианты формул. У нас уже есть три соотношения, в которые