Иосиф Розенталь: Геометрия, динамика, вселенная

Здесь же мы ограничимся замечанием, что среди всех логически замкнутых геометрий система Евклида является наиболее простой. Представляется, что, помимо простоты, эта геометрия также и наиболее естественна. Впрочем, подобное суждение лишь отражает субъективное мнение автора.

Для иллюстрации идеи неевклидовости пространства полезно привести достаточно простой пример. Пусть пространством является поверхность обычной двумерной сферы. Отвлечемся прежде всего от привычного образа сферы, вложенной в видимое трехмерное пространство, полагая сферу самостоятельным автономным объектом. Будем полагать, что «прямые» в таком сферическом пространстве — кратчайшие расстояния между двумя заданными точками на сфере, т. е. дуги большого круга. Положим, что бесконечным прямым в евклидовом пространстве соответствуют окружности на сфере. Здесь правильно будет говорить именно о соответствии, а не о тождестве, поскольку окружность на сфере обладает лишь одним свойством евклидовой прямой — отсутствием границ, но не обладает другим ее свойством — бесконечной протяженностью. Окружность на сфере безгранична, но конечна. Нетрудно, далее, убедиться, что через любую точку сферы, не находящуюся на данном большом круге, нельзя провести большой круг, не пересекающий данный, т. е. «параллельную». Иначе говоря, все «прямые» пересекаются.

Отметим также и другую важную особенность сферической геометрии. Если вырезать из сферы достаточно малую площадку, то геометрия будет имитироваться геометрией Евклида. Здесь полезно подчеркнуть, что подобный прием — вычленение из более сложной геометрии простейшей (в данном случае геометрии Евклида) с помощью выделения малой части полного пространства (здесь — сферы) — прием весьма распространенный и мы далее столкнемся с ним не раз.

После открытия одного варианта неевклидовой геометрии в последующем своем развитии геометрия как ветвь математики прошла весьма значительный путь. Были развиты многие другие неевклидовы геометрии (некоторые из них рассматриваются далее в разд. 6 и 7 этой главы). В подобной эволюции существенную роль сыграло внедрение в геометрию аналитических методов. По существу, геометрия слилась с алгеброй (точнее, с математическим анализом), оставив в своем арсенале лишь одну (хотя и важную) привилегию определенную форму мышления, в которой большую роль играют образность и наглядность.

Ранее мы упоминали о некоторой неопределенности в основных понятиях геометрии: точка, линия и т. д. Превосходной иллюстрацией такой неопределенности является геометрический принцип двойственности. Суть этого принципа заключается в том, что если поменять местами наглядные образы точки и прямой, то в аксиомах и теоремах геометрии почти ничего не изменится.

Покажем некоторые простейшие примеры проявления принципа двойственности, для чего вначале приведем стандартные положения геометрии, а затем попросим читателя сделать усилие и в соответствующих фигурах совершить взаимную замену точек и прямых.

1. Через одну точку можно провести бесконечное число прямых. Любая прямая содержит бесконечное число точек.

Второе положение эквивалентно первому в следующем смысле: нужно слово «провести» заменить на «содержит». Такая замена имеет лишь семантический характер.

2. Через точку пересечения двух прямых a и b можно провести бесконечное число прямых, расположенных между прямыми a и b.

Ясно, что и это положение сохраняет свою силу при взаимной замене точек и прямых.

3. Треугольник — это фигура, образованная тремя прямыми, проходящими через три точки, не лежащие на одной прямой.

Легко проверить, что при взаимной замене точек и прямых получается привычный треугольник.

Число иллюстраций принципа двойственности можно существенно увеличить, он пронизывает всю геометрию. Отсюда можно сделать вывод: интуитивные понятия «точки» и «прямой» в значительной степени условны. [1] Важно отметить, что в последнее время в физике микромира развиваются представления о том, что основным элементом геометрии — точкой — являются линейные элементы. Подробнее об этом см. разд. 10, гл. 2.

Из этого вывода следует естественный вопрос: как самая точная наука — математика (точнее, одна из ее областей геометрия) может базироваться на системе не вполне определенных понятий? Более того, при взаимной замене ее основных определений большинство выводов сохраняют свою силу.