Иосиф Розенталь: Геометрия, динамика, вселенная

Подчеркнем далее, что вместе с геометрией Евклида в математику пришла абстракция. Для геометрии (по крайней мере в ее привычной формулировке) безразлично, сравниваются ли, например, объемы однородных предметов (двух комнат) или различных (например, гаража и автомашины). Геометрия как часть математики отвлекается от сущности объекта исследования. И в этой особенности имеются как сильные, так и слабые стороны.

Сила традиционной геометрии — в ее общности, универсальности. Слабость — в абстрагировании, создающем предпосылки для размытия основополагающих понятий геометрии, размытия, затрудняющего их сопоставление с реальными объектами, явлениями или процессами. До определенного времени этому обстоятельству не придавали серьезного значения, однако, когда наступила пора подвергнуть геометрию критическому переосмысливанию, высветилась эта слабая сторона геометрии. Возникла парадоксальная ситуация: самая точная и, по-видимому, самая наглядная наука — геометрия базируется на понятиях, не поддающихся точным определениям. Чтобы оправдать такое сильное утверждение, полезно напомнить некоторые «школьные» истины.

Учитель, начиная обучение геометрии, произносит слова: «Точка — объект, лишенный протяженности, линия — объект, характеризуемый длиной, но лишенный ширины» — и затем иллюстрирует эти определения, отмечая мелом на доске точку и проводя линию. Однако, размеры такой точки ~ 1 мм, ширина линии также ~ 1 мм — символ точечности? Это утверждение в значительной степени базируется на авторитете учителя.

Если постараться, можно, используя тонкое перо, свести размеры «точки» или «ширины» линии до ~0.1 мм, но и эта величина не соответствует геометрическому определению точки или линии.

Опираясь на весьма тонкие оптические методы, можно уменьшить размеры точки до 10**-10 см. Данные о рассеянии некоторых элементарных частиц свидетельствуют, что их размеры ~<10**-16 см. Однако и в этом случае не исчезает «проклятый» вопрос: можно ли объекты, характеризуемые столь малыми величинами, полагать «точками»?

Те же трудности возникают при попытках эмпирически воспроизвести другое основное понятие геометрии — прямую линию. Обычно полагают, что эталоном прямой является луч света, распространяющийся в пустом пространстве. Однако в соответствии с основными принципами оптики и квантовой механики ширина пучка света по порядку величины равна длине волны λ, а это значение невозможно свести к нулю.

Но главная проблема, пожалуй, не в конечности величины λ. Положение о прямолинейности распространения света в пустоте (даже в пренебрежении значением λ) само является лишь постулатом, требующим независимого доказательства. В нашем распоряжении нет априорно идеальной линейки, которая позволила бы проверить прямолинейность распространения светового луча. Следовательно, это утверждение имеет лишь полуинтуитивное обоснование, основанное на том эмпирическом факте, что в нашем распоряжении нет других методов, позволивших прочертить абсолютно прямую линию между двумя точками. Однако даже это свойство света не гарантирует его прямолинейность. Допустим, что пространство имеет форму сферы. Кратчайшее расстояние на сфере — отрезок большого круга, отнюдь не тождественный прямой. Поэтому утверждение: световой луч прочерчивает прямую эквивалентно тезису: наше пространство плоское, евклидово. А этот тезис сам нуждается в эмпирическом образовании.

К этому вопросу мы далее будем неоднократно возвращаться.

До конца 20-х годов прошлого столетия евклидова геометрия казалась незыблемой и единственной теорией пространства.

В 1829 г. Н.И.Лобачевский опубликовал статью «О началах геометрии». В этой статье, так же как и в письмо молодого венгерского математика Я.Больяи, переданном К.Гауссу, утверждалось, что возможно построение непротиворечивой геометрии, не содержащей известный пятый постулат евклидовой геометрии. Этот постулат, гласящий, что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной, казался наиболее уязвимым (или наименее очевидным) априорным требованием евклидовой геометрии. Однако попытки вывести его из других аксиом оканчивались всегда неудачей. Поэтому был выбран другой путь — построение геометрии, основанной на всех аксиомах и постулатах Евклида, но в которой был заменен пятый постулат о параллельных: через одну точку можно провести либо бесконечное множество прямых, параллельных данной, либо ни одной.