Глеб Анфилов - Бегство от удивлений

Метрические теоремы — не новинка для любого восьмиклассника. Главная из них — теорема Пифагора, знаменитые в поколениях школяров всех стран и наций «пифагоровы штаны». Теорема утверждает: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов меньших сторон (катетов а и b) обязательно равна квадрату большей стороны (гипотенузы S):

S 2= а 2+b 2

Я, блин, горжусь, что сумел процитировать эту формулу по памяти, не заглядывая в учебник.

Кроме теоремы Пифагора, предметом моей гордости служит доказательство еще одного важного утверждения из школьной программы: в любом треугольнике сумма углов строго равна двум прямым. Ни больше ни меньше. Надеюсь, и эту теорему вы не забыли.

Один рассеянный ученик по ошибке принес на урок геометрии вместо тетради футбольный мяч. Пришлось ему на мяче чертить всевозможные чертежи. Но вышла незадача: углы треугольников никак не складывались в два прямых. Выходило больше. А когда задали задачку на теорему Пифагора, ученик-футболист аккуратно составил из геодезических линий прямоугольный треугольник, измерил стороны, сложил квадраты катетов — и получилось больше, чем квадрат гипотенузы! «Пифагоровы штаны» оказались велики для футбольного мяча.

Примечательный случай произошел также с одним бравым ковбоем. Он воспылал симпатией к геометрии, но вместо тетради делал построения на лошадином седле. Тут сумма углов треугольника получилась меньше двух прямых, сумма же квадратов катетов — меньше квадрата гипотенузы. На седло «пифагоровы штаны» не натянулись. Они для седла малы.

Почему же? Разве теорема Пифагора не везде справедлива? И теорема о сумме углов треугольника тоже не универсальна?

Да, это так. Метрические правила неодинаковы на поверхностях разной кривизны. Они ведь выводятся из первоначального постулата о пересечении геодезических линий. На сфере, на седле, на плоскости эти линии пересекаются по-разному — отсюда разные суммы углов треугольников и усложненные (геометры говорят — обобщенные) варианты теоремы Пифагора.

На плоскости — проще всего. Там все точно по Евклиду. А поэтому строгое соблюдение школьных теорем — верный признак плоскости. Какие треугольники ни строй, всегда сумма углов равна двум прямым.

Какие прямоугольные треугольники ни приставляй к расстоянию, всегда соблюдается равенство квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов.

Жаль, что, будучи блином, я сразу не захватил с собой рулетку и транспортир. Имея их, я не возился бы с пересечением геодезических, когда определял, какова моя поверхность. Не ползал бы, не уставал. Начертил бы треугольник, посчитал бы сумму углов, вышло два прямых — значит, моя поверхность плоская. Или сделал бы проверку по теореме Пифагора. Совпала сумма квадратов катетов с квадратом гипотенузы — есть доказательство плоскости.

Будь моя поверхность неплоская, вышло бы как у геометра-футболиста и геометра-ковбоя. Сумма квадратов катетов больше квадрата гипотенузы («пифагоровы штаны» велики) — значит, я на шаре. Сумма квадратов катетов меньше квадрата гипотенузы («пифагоровы штаны» малы) — значит, я на седле. Аналогично с суммой углов треугольника. Больше она двух прямых — треугольник начерчен на сфере, меньше — на седле.

Надеюсь, сказанное до сих пор не внушило вам недоверия. Пока шли разговоры о поверхностях, ничуть не удивительно, что их кривизна связана с метрикой. Это — как резиновая игрушка «уйди-уйди». Вообразите, что тетрадная страничка с геометрическими чертежами тоже резиновая, раздуйте ее в пузырь, натяните на седло или бублик — размеры углов и длин на чертежах тотчас станут другими. Ничего странного [15] Мимоходом стоит заметить, что любую поверхность можно деформировать и без изменения законов пересечения геодезических линий, а значит, без изменений метрики. Сложите тетрадный лист, скомкайте его, сверните в трубочку — во всех чертежах расстояния и углы останутся прежними. Чтобы «изнутри» отличить цилиндр от плоскости, потребуются другие соображения. Например, на цилиндре любая геодезическая (кроме образующей) замкнута — либо эллипс, либо круг. Об этой тонкости не надо забывать, но она — лишь частный случай. .

Но через эти простые вещи мы с вами подходим к неизбежности труднейшего логического скачка — с кривой поверхности в кривое пространство. К определению его кривизны изнутри, без оценок «со стороны».