Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Фреге предложил считать числа названиями множеств определенного вида. Чтобы сделать свое определение точным, он ввел понятие расширения свойства, как множества, состоящего из всех объектов, этим свойством обладающих. О названии «расширение» лучше всего думать как о слове, произошедшем от словосочетания «расширенный набор». Так, расширением свойства «иметь такой же размер, как множество {Том, Дик, Гарри}» является множество, состоящее из всех множеств, которые имеют тот же размер. Понятие «иметь такой же размер» в теории множеств вполне определенно: оно означает, что элементы множеств одного размера могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие. Например, множество {Том, Дик, Гарри} имеет такой же размер как {камень, ножницы, бумага}, поскольку Тома можно привести в соответствие с камнем, Дика с ножницами, а Гарри с бумагой (рис. 10.7). Может показаться, что теория множеств чересчур уж тщательно заботится об определениях: но эта забота совершенно необходима, когда речь идет об основаниях математики. Расширением свойства «иметь такой же размер, как множество {Том, Дик, Гарри}» будет, таким образом, множество, состоящее из множеств {Том, Дик, Гарри}, {камень, ножницы, бумага} и так далее. А теперь мы с грохотом плюхаемся на землю: мы называем это расширение, это множество, числом 3.

Рис. 10.7.Множество объектов имеет тот же самый размер, что и другое множество, если элементы этих множеств могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие. Эти два множества имеют один и тот же размер: если убрать самолетик, они будут иметь разные размеры.

Продолжая, Фреге определил натуральные числа как следующие расширения:

0 есть название расширения свойства «иметь такой же размер, как множество, состоящее из элементов, которые не тождественны самим себе»

(конечно, того, что не тождественно самому себе, не существует) .

1 есть название расширения свойства «иметь такой же размер, как множество 0».

2 есть название расширения свойства «иметь такой же размер, как множество, состоящее из множеств 0 и 1»,

и так далее. Решающим моментом этого определения чисел как названий множеств, последовательно определяемых в терминах меньших множеств, является то, что в нем используются термины, взятые из математической логики, а именно «свойство», «равенство» и «отрицание». Это привело Фреге к точке зрения, что математика есть не более чем логика.

Логикой это могло быть, но удовлетворительным не могло. В 1902 г. незадолго до того, как Фреге был готов отправить издателю второй том своего огромного труда Grundgesetze der Arithmetik (Фундаментальные законы арифметики), в котором он возводил все здание математики, опираясь на это определение числа, он получил от Бертрана Рассела знаменитое письмо, указывающее на существование одного несоответствия. Собственные слова Фреге живо передают охвативший его ужас, когда он распечатал письмо Рассела:

Вряд ли ученый [51]может столкнуться с чем-нибудь более нежелательным, чем необходимость сдаться как раз тогда, когда работа закончена. Именно в такое состояние повергло меня письмо мистера Бертрана Рассела, когда работа вот-вот должна была отправиться в печать.

Бертран Рассел (1872-1970) указал Фреге на проблему расширения свойства «не принадлежать самому себе». Предположим, мы рассматриваем множество, состоящее из множеств, которые не являются элементами самих себя. Например, множество, состоящее из «абстрактных идей», является элементом самого себя, поскольку такое множество само является абстрактной идеей, в то время как множество, состоящее из «фруктов», не является элементом самого себя, поскольку само это множество не есть фрукт. Рассел спросил, принадлежит ли самому себе множество всех множеств, не принадлежащих самим себе? Если оно принадлежит самому себе, то оно относится к множествам, не принадлежащим самим себе. Если оно не принадлежит самому себе, то оно относится к множествам, принадлежащим самим себе. Короче говоря, если оно да, то оно нет, а если оно нет, то оно да. Антиномию (противоречие, парадокс) Рассела многократно выражали в более повседневных разговорных терминах, таких как «брадобрей в этом городке бреет всех мужчин, которые не бреются сами: бреет ли брадобрей себя?».

Антиномия Рассела подорвала программу Фреге, а вместе с ней и основания математики. Причина коррозионного действия противоречия состоит в том, что в логике справедлива теорема: если система аксиом теории приводит к противоречию, то любые предложения, которые можно сформулировать в теории, являются ее доказуемыми теоремами. Поэтому, если определения Фреге приводят к противоречию, то из них можно вывести какую угодно теорему, включая «1 = 2» и «√2 есть рациональное число». Следовательно, в качестве оснований арифметики его аксиомы хуже, чем ничего.