Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Я остановлюсь ненадолго на теореме Пифагора, поскольку в ней заключено несколько важных уроков. Разумеется, мы увидим, что некоторые черты нашего современного понимания пространства и времени были предвосхищены в трудах Пифагора (около 500 лет до н.э.), Эвклида (около 300 лет до н.э.) и Аполлония из Перга (около 200 лет до н.э.). Об этих персонажах мы не знаем практически ничего, и поскольку большинство анекдотов о них было записано спустя века после их смерти, мы не можем полагаться на эти рассказы. Однако уцелело многое из их необычайных мыслей, золотых сокровищ, содержащих доказательства и прозрения в свойства пустого пространства.

Мы начнем с байки и представим себе фантастический подход, который мог использовать древний завоеватель Месопотамии, Хаммурапи, когда он обследовал свои новые владения 3500 лет тому назад. Будем считать, что Хаммурапи жил в мире, полном неудобств, не последним из которых было соглашение, что расстояния с севера на юг измеряются в метрах, а расстояния с востока на запад измеряются в ярдах. Когда землемеры Хаммурапи обследовали его свежезавоеванные поля, они измеряли длины их сторон и, по таинственным причинам, связанным с налогообложением, длины их диагоналей, регистрируя последние либо в метрах, либо в ярдах, как им подскажет фантазия. Можно подозревать, что Хаммурапи нашел мало смысла в числах, которые собрали его землемеры. Например, одно поле, вытянутое с севера на юг, имело стороны 120 метров и 130 ярдов и диагональ 169 метров, в то время как другое, вытянутое с востока на запад, имело стороны 131 ярд и 119 метров с диагональю 185 ярдов. Хаммурапи был озадачен, поскольку оба поля выглядели одинаково.

Однажды ему в голову пришла мысль. Он решил отвергнуть древнее соглашение о единицах и приказал, чтобы с этого момента все расстояния регистрировались бы в метрах (м). После большой и усердной работы его землемеры представили ему новый список сторон и диагоналей. Внезапно он увидел, что их измерения стали теперь много более полезными. Стороны обоих полей, выглядевших одинаково, были 120 м и 119 м, а их диагонали были по 169 м. Сведя все эти измерения в один ряд путем использования одинаковых единиц, Хаммурапи отделил форму от ориентации: все объекты одинаковой формы имеют одинаковые размеры, независимо от их ориентации.

Хаммурапи пришлось продолжить приведение в порядок измерений в своем царстве и дальше. Не все поля в его царстве имели одинаковые размеры, и его землемеры представляли списки сторон и диагоналей, которые, даже выраженные в метрах, выглядели, на его взгляд, не намного отличающимися от случайных. Например, один богатый землевладелец имел поле со сторонами 960 м и 799 м и диагональю 1249 м, а другой, более бедный землевладелец имел поле со сторонами 60 м и 45 м и диагональю 75 м. И тогда наш фиктивный, но блистательный Хаммурапи внезапно вскрикнул (по-шумерски) эврика . Он увидел, что, если для каждого из его полей, безотносительно к размерам, он возведет в квадрат длины его сторон и сложит два квадрата вместе, то результат будет равен квадрату длины диагонали. То есть все измерения, собранные его землемерами, удовлетворяют формуле:

расстояние 2 = сторона 1 2+ сторона 2 2 ,

где расстояние есть длина диагонали. Будучи экономным правителем, он мог теперь приказать своим землемерам экономить время и заработную плату и измерять только стороны полей, поскольку длину диагоналей он мог узнать сам. Конечно, он понимал, что, даже если они будут настаивать на использовании причудливых единиц этого царства, он все равно сможет узнавать длину диагонали, записав:

расстояние 2 = (C × сторона 1) 2+ сторона 2 2 ,

где C — множитель, необходимый, чтобы перевести ярды в метры, одна из глубоко чтимых фундаментальных констант этого царства.

Здесь мы можем отступить от нашей мифической версии Хаммурапи, с его формулой, его эффективностью и его налогами. Более важно, что вечная польза, для которой он предназначал эту формулу, заключается в том, что он идентифицировал выражение, некоторым образом передающее свойства пространства Месопотамии. Неизвестный индиец, написавший Сульвасутру (Правила веревок), расчеты для таинственных сакральных церемоний священнослужителей ведической эры (около 500 лет до н.э.), тоже знал эту формулу, поскольку брахманы нуждались в надежно спроектированном и построенном прямоугольном алтаре. Китайцы Чжан Цан и Цин Чоу-чан, составившие в период Хань (начавшийся в 200 г. до н.э.) сборник, содержавший математические сведения, тоже знали ее.