Девид Дойч - Структура реальности

Подобным разногласиям подверглась и обоснованность использования бесконечных чисел, а также множеств, содержащих бесконечно много элементов, и бесконечно малых величин, используемых при исчислении. Дэвид Гильберт, великий немецкий математик, предоставивший большую часть инфраструктуры как общей теории относительности, так и квантовой теории, заметил, что «математическая литература переполнена бессмыслицами и нелепостями, проистекающими из бесконечности». Некоторые математики, как мы увидим, вовсе отрицали обоснованность рассуждения о бесконечных категориях. Легкий доступ к чистой математике в девятнадцатом веке мало что сделал для разрешения этих разногласий. Напротив, он только усугубил их и породил новые. По мере своего усложнения математическое рассуждение неизбежно удалялось от повседневной интуиции, что возымело два важных противоположных следствия. Во-первых, математики стали более педантичными в отношении доказательств, которые, прежде чем быть принятыми, подвергались все более суровым проверкам на соответствие нормам точности. Но во-вторых, изобрели более мощные методы доказательства, которые не всегда можно было обосновать с помощью существующих методов. И из-за этого часто возникали сомнения, был ли какой-то частный метод доказательства, несмотря на свою самоочевидность, абсолютно безошибочным.

Таким образом, к 1900 году наступил кризис основ математики, который заключался в том, что этих основ не было. Но что же произошло с законами чистой логики? Их перестали считать способными разрешить все математические споры? Удивителен тот факт, что теперь математические споры в сущности и велись о «законах чистой логики». Первым эти законы привел в систему Аристотель еще в 4 веке до н.э., тем самым заложив то, что сегодня называют теорией доказа тельства. Он допустил, что доказательство должно состоять из последовательности утверждений, которая начинается с каких-либо посылок и определений, а заканчивается желаемым выводом. Чтобы последовательность утверждений была обоснованным доказательством, каждое утверждение, кроме начальных посылок, должно следовать из предыдущих в соответствии с одним из постоянного набора законов, называемых силлогизмами. Типичным был следующий силлогизм

Все люди смертны.

Сократ — человек.

[Следовательно] Сократ смертен.

Другими словами, это правило гласило, что если в доказательстве появляется утверждение вида «все А имеют свойство В» (как в данном случае «все люди смертны») и другое утверждение вида «индивидуум Х есть А» (как в данном случае «Сократ – человек»), то впоследствии в доказательстве обоснованно появление утверждения «X имеет свойство В» («Сократ смертен»), и это утверждение, в частности, является обоснованным выводом. Силлогизмы выражают то, что мы назвали бы правилами вывода, то есть правилами, определяющими этапы, которые допустимы при доказательстве, такими, что истина посылок переходит к выводам. Кроме того, эти правила можно применить, чтобы определить, обосновано ли данное доказательство.

Аристотель заявил, что все обоснованные доказательства можно выразить в виде силлогизмов. Но он не доказал это! А проблема теории Доказательства заключалась в том, что очень небольшое количество современных математических доказательств выражались в виде чистой последовательности силлогизмов; более того, большинство из них невозможно было привести к такому виду. Тем не менее, большинство Математиков не могли заставить себя следовать букве закона Аристотеля, так как некоторые новые доказательства казались так же самоочевидно обоснованными, как и рассуждение Аристотеля. Математики перешли на новый этап развития. Новые инструменты, такие, как символическая логика и теория множеств, позволили математикам установить новую связь между математическими структурами. Благодаря этому появились новые самоочевидные истины, независимые от классических правил вывода, и, таким образом, классические правила оказались самоочевидно неадекватными. Но какие же из новых методов доказательства были действительно безошибочными? Как нужно было изменить правила вывода, чтобы они обрели законченность, на которую ошибочно претендовал Аристотель? Как можно было вернуть абсолютный авторитет старых правил, если математики не могли прийти к соглашению относительно того, что является самоочевидным, а что бессмысленным?