Аркадий Лукьянов - Историко-критическое введение в философию естествознания

Осознанию этого факта способствовало возникновение той новой системы мира, в основаниях которой находятся неевклидовые геометрии, концепция относительности пространства и времени, а также концепция дополнительности. К рассмотрению всех этих вопросов теперь мы и переходим.

На протяжении долгих столетий лучшие умы пытались доказать знаменитую одиннадцатую аксиому, или пятый постулат Евклида**.

______________ ** В литературе можно встретить различные написания имени "Е[Э]вклид".

В своей современной форме он звучит так: Через точку, лежащую вне прямой в одной с ней плоскости, можно провести одну и только одну параллельную данной.

Величайшие математики всех времён и народов пытались доказать этот постулат как теорему на основе других аксиом Евклида. Но все попытки оказались тщетными. Н.И. Лобачевский, который был не только великим учёным-геометром, но и замечательным педагогом, деканом и ректором Казанского университета, также пытался это сделать. Остались неизвестными тот день и час, когда он вдруг почувствовал, как, точно молния, сверкнул в его мозгу ответ на то "почему", с которым были связаны многие годы его жизни. Он понял, что пятый постулат недоказуем именно потому, что представляет собой лишь гипотезу - одно из возможных предположений о свойствах окружающего нас пространства. И истинность его может быть установлена только опытным путём, т.е. путём обращения к самой природе. Таким образом, данный постулат совершенно не зависит от остальных аксиом Евклида, логически вывести его принципиально невозможно.

Всеми признанная геометрия не может дать доказательства пятого постулата. Не означает ли это, что при замене его другим постулатом параллельности может быть построена абсолютно новая геометрия? Лобачевский назвал её сначала осторожно, "Воображаемой", а потом - "Всеобщей геометрией" или "Пангеометрией". Сегодня её называют неевклидовой или просто геометрией Лобачевского.

В противоположность допущению Евклида, что через точку С, лежащую вне прямой АВ, проходит на плоскости только одна параллельная ей прямая линия. Лобачевский принял постулат, утверждающий, что таких прямых может быть, по крайней мере, две (СМ и СN). Отсюда следует, что имеется ещё бесчисленное множество прямых, заключённых в углу между прямыми СМ и CN', которые также не будут пересекать АВ (рис. 1)

М' N'

С

N M

А В

Д

Рис. 1.

Часто говорят, лиха беда начало. А здесь оно было особенно трудным. Ведь всякий, кто впервые прочтёт указанное предположение, немедленно воскликнет: "Неверно! Попробуйте продолжить прямые АВ и CN или СМ, они пересекутся тут же на чертеже!"

Конечно, пересекутся, но на обычной (привычной нам) плоскости. Однако, выдвинув свой постулат, Лобачевский сразу же расстался с абсолютным, всюду однородным эвклидовым пространством, поскольку в нём такое допущение было бы невозможно и бессмысленно. Отвергнув истинность V постулата, он тем самым открыл существование пространства с другими свойствами. "Плоскость" в этом новом, неевклидовом пространстве вовсе не плоская. У неё имеется кривизна. Само пространство Лобачевского обладает кривизной. В частном - предельном случае, когда радиус кривизны становится равным бесконечности, пространство Лобачевского переходит в "плоское" (нулевой кривизны) пространство Евклида. Следовательно, геометрия последнего есть только частный случай геометрии Лобачевского. Поэтому начерченные на листке бумаги параллельные Лобачевского имеют чисто условный вид и, конечно, они пересекутся. Но если мы растянем мысленно этот листок-плоскость на миллионы и миллиарды световых лет, можно ли поручиться, что она не приобретёт кривизны? Если приобретёт, то наши прямые ("прямые Лобачевского") не встретятся. Так, предполагая возможность применения своей геометрии "за пределами видимого мира" Лобачевский смог заглянуть в беспредельные дали.

Данную мысль можно геометрически проинтерпретировать следующим образом: пусть мы имеем прямую а и через точку с, лежащую вне её, проходит на плоскости прямая b, параллельная а. Теперь, пусть прямая b отклонится, проходя через с, на сколь угодно малую долю градуса (См. рис. 2).

b'

b a

a

Рис. 2.

Встретится ли b' с прямой а в этом, "видимом мире"? Ведь после работ А.А. Фридмана и после того, как было установлено, что величина радиуса кривизны космического пространства оказывается переменной, принимающей различные значения в зависимости от структуры поля тяготения тех или иных его участков, выдвинутый нами вопрос является вполне оправданным. Но раз это так, то можно построить совершенно непротиворечивую геометрию, в которой оказывается изменённым только пятый постулат, а все остальные аксиомы Евклида сохраняют свой прежний вид.