Федор Константинов - Диалектика природы и естествознания

Несмотря на большое число различных школ и направлений в современной буржуазной философии математики, в ней отсутствует сколько-нибудь убедительное объяснение процесса математического познания в целом. Абсолютизируя какую-либо одну из особенностей математического знания, они создают тем самым искаженное представление о целом. Лишь с позиций диалектического материализма, руководствуясь марксистско-ленинским пониманием познания как активного, творческого отражения объективного мира человеческим сознанием, можно создать целостное представление о диалектике математического познания во всей ее сложности и противоречивости и тем самым дать математике философское обоснование. Основной вопрос математики тесно связан с основным вопросом философии. Объекты исследования математики составляют определенные отношения в объективном мире, математические построения, которые могут быть очень удаленными от этого мира и создавать видимость независимости первых от второго. Этот мировоззренческий вопрос, разделяющий материализм и идеализм в философии математики, следует отличать от методологической проблемы о предмете математики, заключающейся в определении основного содержания математики как науки, т. е. системы средств, способов и результатов познания ею своего объекта.

Различение объекта и предмета математического познания носит принципиальный характер. Решение проблемы об объекте математики требует ответа на вопрос: является ли математическое знание отражением объективного мира, существующего до, вне и независимо от познающего субъекта, или же оно служит формой самопознания субъекта? Следовательно, вопрос об объекте математического познания представляет собой конкретизацию основного вопроса философии применительно к математике. Определение объекта математики должно быть дано в категориях диалектического материализма. Наоборот, решая вопрос о предмете математики, мы не выходим за пределы диалектики процесса познания, определение предмета математики дается не посредством философских категорий, а с помощью общенаучных или специальных математических понятий [16].

Объектом математического познания всегда были различные типы единства количественной и качественной определенности, бесконечного и конечного, непрерывного и прерывного, структурного многообразия мира и его элементов. Предмет ее меняется в зависимости от уровня развития самой математики, ее методов познания, развития смежных с математикой наук, общественно-исторической практики. Никакая система понятий, будучи исторически конкретной и вследствие этого неполной и ограниченной системой, не может абсолютно отобразить всего содержания соответствующего свойства объективного мира, хотя в процессе исторического развития науки происходит уточнение и углубление знаний, познаются все более глубокие и существенные черты этого содержания. Следовательно, на каждом данном этапе развития математики ее предмет находится в определенном соответствии с ее объектом, но не совпадает с ним.

Исторически и логически первичными свойствами объективного мира, которые стали изучаться математикой, были различные отношения меры — количественно определенного качества или качественно определенного количества, с которыми люди изначально сталкивались в практической деятельности [17]. Математика начинала с изучения конкретных систем объектов, поэтому «качественная окраска» исследуемых количественных отношений мешала разглядеть изоморфизм отношений различных предметных областей, понять эти отношения как частные проявления некоторой абстрактной и общей структуры. Так, структура группы как математического конструкта в предельно общей форме оставалась скрытой за многими частными законами композиции, свойствами подстановок на множествах, сложением и умножением чисел, преобразованиями векторов в пространстве. В XVII–XIX вв. лишь некоторые выдающиеся мыслители видели в математике не сумму отдельных дисциплин, а общую науку об отношениях [18]. Даже Гегель воспринимал математику как науку о величинах и числах, правда отмечая ее абстрактно-количественный характер как метафизическую ограниченность, свидетельство отрыва количества от качества. «…Математика природы, если она хочет быть достойной имени науки, по существу своему должна быть наукой о мерах» [19], — подчеркивал он.

Таким образом, предмет математики — это теоретический образ объекта, его абстрактное и идеализированное представление. Со временем в математике все большее значение приобретают исследования, непосредственно направленные на познание не внешнего мира, а на само математическое знание и методы его получения. Происходит как бы переход от «первичного» отражения к «вторичному». Поскольку в этом случае объектом исследования становится само исследование, естественно назвать этот уровень математического познания метаисследованием, а его объект — математическое знание — метаобъектом [20].