Бертран Рассел - Искусство философствования

Оставим античность и обратимся к современности, к проблемам, стоящим перед страховыми компаниями. Предположим, вы хотите застраховать свою жизнь с тем, чтобы ваша вдова получила 1000 долларов после вашей смерти. Сколько вы должны платить каждый год? Предположим, что вы в таком возрасте, что среднестатистический мужчина живет еще 20 лет. Если вы платите 50 долларов в год, то в течение 20 лет вы заплатите 1000 долларов, и, на первый взгляд, вы сочтете правильным то, что страховая компания назначит вам ежегодный взнос в 50 долларов. На самом деле это будет слишком высокий взнос, поскольку существует еще процентный доход. Предположим, вы прожили еще 20 лет, ваши первые 50 долларов страховая компания инвестировала в какое-либо дело и получила прибыль; прибыль также была инвестирована, и т. д.; вы можете подсчитать, сколько прибыли принесут ваши 50 долларов за 20 лет постоянного инвестирования. Подсчитайте, что следующие 50 долларов будут инвестироваться в течение 19 лет и тоже принесут прибыль, и т. д. Таким образом, ваши взносы в течение 20 лет принесут страховой компании гораздо больше, чем 1000 долларов. Действительно, если страховая компания получает 4% прибыли со своих инвестиций, ваши ежегодные взносы в 50 долларов принесут ей в течение 20 лет 1500 долларов.

Сделав подобные расчеты, вы узнаете, как нужно делать расчеты в так называемых «геометрических прогрессиях».

«Геометрическая прогрессия» – это ряды чисел, в которых каждое число, кроме первого, является кратным предыдущему. Например, 1,2,4,8,16,… – это геометрическая прогрессия, в которой каждое число является удвоением предыдущего; 1, 3, 9, 27, 81,… – это геометрическая прогрессия, в которой каждое число является утроением предыдущего; 1,1/2,1/4,1/8,1/16,… – это прогрессия, в которой каждое число является половиной предыдущего, и т. д.

Вернемся теперь к нашему доллару, инвестированному исходя из 4% годовых. В конце года это будет 1,04 доллара. В конце второго года у вас будет 1,04 доллара плюс 4% от этой суммы; это 1,04 раза по 1,04, т. е. (1,04)2. В конце третьего года это будет (1,04)3 и т. д. Таким образом, если вы будете платить каждый год по одному доллару в течение 20 лет, то к концу этих 20 лет то, что вы заплатили, станет (1,04)20 + (1,04)19 +… + (1,04)2 + 1,04, что представляет собой геометрическую прогрессию.

Древние греки проявляли большой интерес к геометрическим прогрессиям, особенно к прогрессиям, уходящим в бесконечность. Например, 1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 +…в сумме никогда не дадут 1. Так же обстоит дело и с периодическими десятичными дробями.9999… Все это создает множество загадок, на решение которых уходит очень много времени.

Античная геометрия занималась не только линиями и кругами, но также и «коническими сечениями», которые представляют собой разного рода кривые линии – сочетания плоскости и конуса; иначе их можно определить, как всевозможные формы теней, отбрасываемых кругом на стену. Греки изучали их удовольствия ради, а не для практического использования, которое они презирали. Однако 2000 лет спустя, в XVII в., эти исследования вдруг приобрели огромное практическое значение. Развитие артиллерии показало людям, что если вы хотите попасть в удаленный объект, то должны целиться не прямо в этот объект, а немного выше него. Никто не знал точную траекторию пушечного ядра, но военное командование стремилось это узнать. Галилей, служивший у герцога Тосканского, нашел ответ: пушечные ядра движутся по параболе, представляющей особую разновидность конических сечений. Примерно в то же самое время сделал свое открытие и Кеплер: траекторией движения планет вокруг Солнца является эллипс – другая разновидность конических сечений. Таким образом, все знания, полученные раньше при изучении конических сечений, стали использоваться в военном деле, навигации и астрономии.

Чуть выше я сказал, что конические сечения – это тени кругов. Если у вас есть лампа с круглым отверстием, то вы сами для себя можете сделать различного рода конические сечения. Тень отверстия лампы на потолке (если только он не кривой) будет кругом, а вот его тень на стене будет гиперболой. Если вы возьмете кусок бумаги и подержите над отверстием лампы, то, если вы держите бумагу не точно в горизонтальном положении, тенью будет эллипс; если вы наклоните бумагу еще больше, эллипс станет длиннее и тоньше; первая тень, не являющаяся эллипсом, если вы наклоните бумагу еще больше, будет параболой; а после этого она станет гиперболой. Капли в фонтане падают вниз по параболе, так же, как и камни, падающие с утеса.