Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

(5.14)

Сумма (5.14) является функцией φ(a, b, с) трех переменных a, b, с. Задача сводится к отысканию ее минимума. Для этого используем необходимое условие экстремума:

или

(5.15)

Решив эту систему (5.15) трех уравнений с тремя неизвестными относительно параметров a, b , с, получим конкретный вид искомой функции F(x, a, b, с) . Изменение количества параметров не приведет к изменению сущности метода, а отразится только на количестве уравнений в системе (5.15).

Как следует из начальных условий, найденные значения функции F(x, а, b, с) в точках x 1, х 2, …, х nбудут отличаться от табличных значений y 1 , у 2 , …, у n . Значение разностей

будет определять отклонение измеренных значений f от вычисленных по формуле (5.14). Для найденной эмпирической формулы (5.14) в соответствии с исходными табличными данными можно найти сумму квадратов отклонений

(5.16)

Она, в соответствии с принципом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции и ее найденных параметров (параметры a, b, с ), должна быть наименьшей. Из двух разных приближений одной и той же табличной функции, следуя принципу наименьших квадратов, лучшим нужно считать тот, для которого сумма (5.16) имеет меньшее значение.

При тригонометрической интерполяции используются тригонометрические полиномы — линейные комбинации тригонометрических функций sin(nx) и cos(nx). Этот вид интерполирования применяется для процессов, которые отражают циклические процессы, связанные с периодическими функциями [52–54]. Известно, что такие функции удобно представлять в виде тригонометрического ряда или его частичной суммы с достаточной степенью точности.

Функциональный ряд вида

(5.17)

называется тригонометрическим. Его коэффициенты а n и b n — действительные числа, не зависящие от х. Если этот ряд сходится для любого х из промежутка [-π, π], тогда он определяет периодическую функцию f(x) с периодом Т=2π. Ряд вида (5.17) называется рядом Фурье для интегрируемой на отрезке [-π, π] функции f(х), если коэффициенты его вычисляются по следующим правилам:

(5.18)

(5.19)

(5.20)

В практических расчетах, как правило, ограничиваются конечным числом первых членов ряда Фурье. В результате получается приближенное аналитическое выражение для функции f(х) в виде тригонометрического полинома N- го порядка

Но соотношения для вычисления коэффициентов Фурье (5.18)–(5.20) пригодны для случая аналитического задания исходной функции. Если функция задана в виде таблицы, то возникает задача приближенного отыскания коэффициентов Фурье по конечному числу имеющихся значений функции.

Таким образом, формулируется следующая задача практического, гармонического анализа: аппроксимировать на интервале (0, T) тригонометрический полином N- го порядка функцию у=f(х) , для которой известны m ее значений у k =f(х k ) при х k =kТ/m, где k= 0, 1, 2, …, m -1.

Тригонометрический полином для функции, определенной на интервале (0, Т), имеет вид:

(5.21)

Коэффициенты а nи b nопределяются следующими соотношениями:

(5.22)