Миран Липовача - Изучай Haskell во имя добра!

Первый закон монад утверждает, что если мы берём значение, помещаем его в контекст по умолчанию с помощью функции return, а затем передаём его функции, используя операцию >>=, это равнозначно тому, как если бы мы просто взяли значение и применили к нему функцию. Говоря формально, return x >>= f– это то же самое, что и f x.

Если вы посмотрите на монадические значения как на значения с контекстом и на функцию returnкак на получение значения и помещение его в минимальный контекст по умолчанию, который по-прежнему возвращает это значение в качестве результата функции, то закон имеет смысл. Если данный контекст действительно минимален, передача этого монадического значения функции не должна сильно отличаться от простого применения функции к обычному значению – и действительно, вообще ничем не отличается.

Функция returnдля монады Maybeопределена как вызов конструктора Just. Вся суть монады Maybeсостоит в возможном неуспехе в вычислениях, и если у нас есть значение, которое мы хотим поместить в такой контекст, есть смысл в том, чтобы обрабатывать его как успешное вычисление, поскольку мы знаем, каким является значение. Вот некоторые примеры использования функции returnс типом Maybe:

ghci> return 3 >>= (\x –> Just (x+100000))

Just 100003

ghci> (\x –> Just (x+100000)) 3

Just 100003

Для списковой монады функция returnпомещает что-либо в одноэлементный список. Реализация операции >>=для списков проходит по всем значениям в списке и применяет к ним функцию. Однако, поскольку в одноэлементном списке лишь одно значение, это аналогично применению функции к данному значению:

ghci> return "WoM" >>= (\x –> [x,x,x])

["WoM","WoM","WoM"]

ghci> (\x –> [x,x,x]) "WoM"

["WoM","WoM","WoM"]

Вы знаете, что для монады IOиспользование функции returnсоздаёт действие ввода-вывода, которое не имеет побочных эффектов, но просто возвращает значение в качестве своего результата. По этому вполне логично, что этот закон выполняется также и для монады IO.

Второй закон утверждает, что если у нас есть монадическое значение и мы используем операцию >>=для передачи его функции return, результатом будет наше изначальное монадическое значение. Формально m >>= returnявляется не чем иным, как просто m.

Этот закон может быть чуть менее очевиден, чем первый. Давайте посмотрим, почему он должен выполняться. Когда мы передаём монадические значения функции, используя операцию >>=, эти функции принимают обычные значения и возвращают монадические. Функция returnтоже является такой, если вы рассмотрите её тип.

Функция returnпомещает значение в минимальный контекст, который по-прежнему возвращает это значение в качестве своего результата. Это значит, что, например, для типа Maybeона не вносит никакого неуспеха в вычислениях; для списков – не вносит какую-либо дополнительную недетерминированность.

Вот пробный запуск для нескольких монад:

ghci> Just "двигайся дальше" >>= (\x –> return x)

Just "двигайся дальше"

ghci> [1,2,3,4] >>= (\x –> return x)

[1,2,3,4]

ghci> putStrLn "Вах!" >>= (\x –> return x)

Вах!

В этом примере со списком реализация операции >>=выглядит следующим образом:

xs >>= f = concat (map f xs)

Поэтому когда мы передаём список [1,2,3,4]функции return, сначала она отображает [1,2,3,4], что в результате даёт список списков [[1],[2],[3],[4]]. Затем это конкатенируется, и мы получаем наш изначальный список.

Левое тождество и правое тождество являются, по сути, законами, которые описывают, как должна вести себя функция return. Это важная функция для превращения обычных значений в монадические, и было бы нехорошо, если бы монадическое значение, которое она произвела, имело больше, чем необходимый минимальный контекст.

Последний монадический закон говорит, что когда у нас есть цепочка применений монадических функций с помощью операции >>=, не должно иметь значения то, как они вложены. В формальной записи выполнение (m >>= f) >>= g– точно то же, что и выполнение m >>= (\x –> f x >>= g).

Гм-м, что теперь тут происходит? У нас есть одно монадическое значение, m, и две монадические функции, fи g. Когда мы выполняем выражение (m >>= f) >>= g, то передаём значение mв функцию f, что даёт в результате монадическое значение. Затем мы передаём это новое монадическое значение функции g. В выражении m >>= (\x –> f x >>= g)мы берём монадическое значение и передаём его функции, которая передаёт результат применения f xфункции g. Нелегко увидеть, почему обе эти записи равны, так что давайте взглянем на пример, который делает это равенство немного более очевидным.