У Клоксин - ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА ЯЗЫКЕ ПРОЛОГ

Используя атомарные высказывания, можно различными способами создавать составные высказывания. Именно здесь начинают появляться понятия не имеющие непосредственных аналогов в языке Пролог. Существует несколько способов построения более сложных высказываний из более простых. Прежде всего, можно использовать логические связки. Таким способом можно выразить понятия 'не', 'и', 'или', 'влечет' и 'является эквивалентным'. Далее приведено краткое описание этих связок и вкладываемых в них значений. Здесь ? и ? используются для обозначения произвольных высказываний (формул). В следующей таблице приводятся традиционная форма записи высказываний, используемая в исчислении предикатов, и форма записи, используемая в этой главе.

Так, например, конструкция

мужчина(фред) # женщина (фред)

могла бы быть использована для представления высказывания о том, что Фред является мужчиной или Фред является женщиной. Конструкция

мужчина(джон) -› человек (джон)

могла бы представлять высказывание: то, что Джон является мужчиной, влечет то, что он является человеком (если Джон мужчина, то он – человек). Понятия импликации и эквивалентности иногда при первом знакомстве с ними представляются несколько сложными. Мы говорим, что α влечет β, если всякий раз, когда α истинно, то β также истинно. Мы говорим, что α эквивалентно β, если α истинно в точности в тех же случаях, что и β. В действительности, эти понятия могут быть определены через понятия 'и', 'или', 'не'. А именно:

α-›β значит то же самое, что (~α)#β

α‹-›β значит то же самое, что и (α&β)#(~α&~β)

α‹-›β также значит то же самое, что и (α-›β)&(α-›β)

До сих пор ничего не было сказано о том, что значат переменные, входящие в состав высказывания. В действительности, использование переменных имеет смысл лишь в случае, когда они вводятся с помощью кванторов. Кванторы позволяют делать высказывания о множествах объектов и формулировать утверждения, истинные для этих множеств. В исчислении предикатов имеются два квантора. Если ν обозначает переменную, а ρ – это произвольное высказывание, то коротко значение кванторов можно выразить так:

Первый из кванторов называется квантором общности, так как он указывает на все объекты, существующие во вселенной («для всех ν,…»). Второй квантор называется квантором существования, так как он указывает на существование некоторого объекта (или объектов) («существует ν такой что…»). В качестве примера приведем формулу

all(X, мужчина(Х) -› человек(Х))

которая значит, что какое бы значение Xмы не выбрали, если Xявляется мужчиной, то тогда X– человек. Эту формулу можно прочитать так: для любого X, если X является мужчиной, то X является человеком. Или в более простой формулировке: каждый мужчина является человеком. Аналогично

exists(Z, отец(джон,2)& женщина(Z)))

значит, что существует объект, обозначаемый Zтакой, что Джон является отцом Zи Z– женщина. Эту формулу можно прочитать так: существует Z такой, что Джон является отцом Zи Z– женщина. Или в более естественной формулировке: Джон имеет дочь. Ниже приведены две более сложные формулы исчисления предикатов:

all(X, животное(Х) -› exists(Y,мать(X,Y)))

all(X, формула_исчисления_предикатов(Х) ‹-› атомарная_формула(Х) # составная_формула(Х))

Как было показано в предыдущем разделе, формулы исчисления предикатов, записанные с использованием связок -› (импликация) и ‹-› (эквивалентность), могут быть переписаны лишь с использованием связок& (конъюнкция), # (дизъюнкция) и ~ (отрицание). В действительности, существует множество разных форм записи формул, и мы ни в коей мере не принесли бы в жертву выразительность формул, если бы должны были полностью отказаться от использования, например, #, -›, ‹-›и exists(X, P). Как следствие этой избыточности, существуют много различных способов записи одного и того же высказывания. При необходимости выполнять формальные преобразования формул исчисления предикатов это оказывается очень неудобным. Было бы значительно лучше, если бы все, что мы хотим сказать, можно было выразить единственным способом. Поэтому здесь будет рассмотрен способ преобразования формул исчисления предикатов к специальному виду – стандартной форме, - обладающему тем свойством, что число различных способов записи одного и того же утверждения меньше по сравнению с использованием других форм. В действительности будет показано, что высказывание исчисления предикатов, представленное в стандартной форме, очень похоже на некоторое множество утверждений языка Пролог. Так что исследование стандартной формы имеет существенное значение для понимания связи между Прологом и математической логикой. В приложении В будет коротко описана программа на Прологе, автоматически транслирующая формулы исчисления предикатов в стандартную форму.