Жак Арсак - Программирование игр и головоломок

Игра 18.

Эта игра — производная от средневековой игры. Сначала попытайтесь достичь 50 с точностью до кратного 7. Но как только все четыре карты, имеющие одинаковое значение, оказываются использованными, так ситуация сразу меняется. Вот пример начала партии,

Я беру туза, компьютер тоже. Сумма 2.

Чтобы получить 8, я беру 6. Компьютер берет туза. Сумма 9.

Чтобы получить 15, я снова беру 6.

Компьютер берет последнего туза. Сумма 16,

Теперь остаются следующие карты:

2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6

Так как тузов больше нет, то числа Спрага-Грюнди изменились [20] Читатель может вернуться к определению чисел Спрага-Грюнди и убедиться, что эти числа определяются на множестве игровых позиций раз и навсегда, исходя из правил игры, и, разумеется, не могут меняться в процессе разыгрывания конкретной партии. Что же является позицией в этой средневековой игре? — Позицией является состав выложенных на стол карт, а также их значения: сколько карт на столе имеет значение 1, сколько карт имеет значение 2, и т. д. Сумма, набранная игроками в данный момент, равна 84 минус сумма значений карт на столе. Что же имеет в виду автор книги, когда он пишет SG(50)? Почему он приписывает число Спрага-Грюнди не позиции, а сумме карт этой позиции? Дело в том, что для всех позиций с набранной суммой 50 число Спрага-Грюнди одинаково и равно 0. Это и позволяет написать равенство SG(50) = 0. А что могло бы значить SG(49)? Если бы все позиции с суммой 49 имели одинаковое число SG, мы бы обозначили его SG(49). Но, увы! Разные позиции с суммой 49 имеют разные числа Спрага-Грюнди. Так что автор книги дальше рассуждает о несуществующих вещах. Я из этих рассуждений ничего полезного извлечь не смог (кроме подозрения, что у автора нет работающей программы, играющей в 24 карты). — Примеч. ред. . Теперь из 49 больше нельзя получить 50.

SG(50) = 0, SG(49) = 0.

Из (48) можно получить 50. Поэтому SG(48) = 1.

Из 47 можно получить 49 и 50, но не 48. Поэтому SG(47) = 1.

Теперь положения, имеющие нулевое SG, — это

42 41 34 33 26 25 18 17

Поэтому я могу взять 2, чтобы достичь 18.

Стратегия усложняется, поскольку числа Спрага-Грюнди полностью меняются при удалении каждой карты. Но это как раз и благоприятствует компьютеру. Если он не может достичь выигрывающего положения, он берет карту, оставшуюся в наименьшем количестве экземпляров. Каждый раз, когда тот или иной тип карт исчерпывается, компьютер пересчитывает заново числа Спрага-Грюнди.

Мне придется переписать мою программу в соответствии с этой стратегией.

Игра 19.Ним-сумма.

Для меня эта игра — своего рода педагогический вызов. Я чрезвычайно раздражен тем, что все, кто излагает эту игру, ведут себя одинаково: известно, что выигрывающей стратегией является следующая… Почему она выигрывает? Откуда она вообще взялась эта стратегия?

Выписать числа Спрага-Грюнди очень трудно.

Попытаемся найти несколько выигрывающих положений.

Если к моменту своего хода я обнаруживаю только одну спичку, то я выигрываю.

Если я обнаруживаю единственную кучку, то я тоже выигрываю.

Если, кроме одной кучки, ничего больше нет, то можно положить SG(0) = 0 (я выигрываю, я взял последнюю спичку), вследствие чего SG( n ) = n .

Предположим теперь, что у нас две кучки. Если я оставляю две кучки, в каждой из которых по одной спичке, то я обязательно выигрываю: мой противник должен взять столько спичек, сколько он хочет, но — только из одной кучки. У него нет выбора, он может только взять одну из спичек, после чего я возьму последнюю спичку и выиграю.

Если я оставляю две одинаковые кучки по n спичек в каждой, то у моего противника две возможности:

— взять целиком одну из кучек, я возьму другую и выиграю;

— взять часть одной из кучек и оставить в ней n ' спичек. Я возьму столько же из другой, оставляя ситуацию n ', n '. По индукции — я на пути к победе.

В наиболее общем случае ситуация характеризуется p целыми числами ( p — число кучек). При каждом ходе изменяется одно и только одно из этих неотрицательных целых чисел и оно заменяется меньшим неотрицательным целым числом, которое может быть и нулем. Если мы исходили из выигрывающей ситуации, то новая ситуация не является выигрывающей. Если ситуация не являемся выигрывающей, то всегда можно, уменьшая одно из чисел, получить выигрывающую ситуацию (по крайней мере, если выигрывающая стратегия существует [21] Можно доказать, что в играх, подобных игре Нима и обычным шахматам, — в играх с полной информацией — выигрывающая стратегия всегда существует. Это — относительно простая теорема. Другое дело, что эта выигрывающая стратегия может быть не очень простой (Ним) или вообще еще не открытой (шахматы). — Примеч. ред. …).