Джулиан Бакнелл - Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi

Третий тип узла - узел с двумя дочерними узлами. В стандартном дереве бинарного поиска мы считали попытку удаления узла этого типа ошибкой. Удаление не могло быть выполнено, поскольку не существовало никакого общего способа выполнения операции удаления, который имел бы смысл. В случае дерева бинарного поиска это не так: в данном случае можно воспользоваться свойством упорядочения дерева бинарного поиска.

Ситуация выглядит следующим образом: нам нужно удалить определенный узел (т.е. элемент в этом узле), но он имеет два дочерних узла (каждый из которых имеет собственные дочерние узлы). Алгоритм удаления несколько сложен, поэтому вначале он будет описан словесно, а затем будет показано, как он работает. На практике мы ищем узел, содержащий наибольший элемент, который меньше только того, который мы пытаемся удалить. Затем мы меняем местами элементы в этих двух узлах. И, наконец, мы удаляем второй узел. Он всегда будет соответствовать одному из ранее рассмотренных случаев удаления.

Первый шаг заключается в отыскании наибольшего элемента, меньшего того элемента, который мы пытаемся удалить. Понятно, что он находится в левом дочернем дереве (все элементы этого дерева меньше удаляемого элемента). Кроме того, он является наибольшим элементом этого дерева. Иначе говоря, все остальные элементы, которые могут находиться в левом дочернем дереве, меньше этого элемента. В действительности все элементы в правом дочернем дереве больше этого выбранного элемента (поскольку он меньше элемента, который должен быть удален, а этот элемент, в свою очередь, меньше всех элементов в правом дочернем дереве). Следовательно, он вполне может заменить удаляемый элемент, и это действие не нарушит порядок элементов в дереве.

Но как насчет узла, с позиции которого он был перемещен, и который теперь нужно удалить? В отношении этого конкретного узла важно уяснить, что он не имеет никакого правого дочернего узла. Если бы он имел правый дочерний узел, элемент в дочернем узле должен был бы быть больше элемента, с которым мы поменяли его местами, и, следовательно, первоначально выбранный элемент не мог бы быть наибольшим. Он может иметь левый дочерний узел, но независимо от этого мы знаем, как удалить узел, имеющий не более одного дочернего узла.

При этом все еще остается проблема обнаружения наибольшего элемента, который меньше исходного, предназначенного для удаления. По существу, мы выполняем перемещение по дереву. Начиная с элемента, который нужно удалить, мы переходим к левой дочерней связи. С этого места мы продолжаем перемещаться по правым дочерним связям до тех пор, пока не доберемся до узла, не имеющего никакой правой дочерней связи. Этот элемент гарантированно содержит наибольший элемент, меньший только того элемента, который мы пытаемся удалить.

Обратите также внимание, что удаление, как и вставка, может приводить к созданию вырожденного дерева. Эту проблему решают алгоритмы балансировки, которые мы рассмотрим при ознакомлении с красно-черным вариантом дерева бинарного поиска.

Листинг 8.15. Удаление из дерева бинарного поиска

function TtdBinarySearchTree.bstFindNodeToDelete(aItem : pointer)

: PtdBinTreeNode;

var

Walker : PtdBinTreeNode;

Node : PtdBinTreeNode;

Temp : pointer;

ChildType : TtdChildType;

begin

{попытаться найти элемент; если элемент не найден, сгенерировать признак ошибки}

if not bstFindItem(aItem, Node, ChildType) then

bstError(tdeBinTreeItemMissing, 1bstFindNodeToDelete');

{если узел имеет два дочерних узла, найти наибольший узел, который меньше удаляемого, и поменять местами элементы}

if (Node^.btChild[ctLeft]<> nil) and (Node^.btChild[ctRight]<> nil) then begin

Walker := Node^.btChild[ctLeft];

while (Walker^.btChild[ctRight] <> nil) do

Walker := Walker^.btChild[ctRight];

Temp := Walker^.btData;

Walker^.btData := Node^.btData;

Node^.btData := Temp;

Node := Walker;

end;

{вернуть узел, который нужно удалить}

Result := Node;

end;

procedure TtdBinarySearchTree.Delete(aItem : pointer);

begin

FBinTree.Delete(bstFindNodeToDelete(aItem));

dec(FCount);

end;

Большая часть работы выполняется методом bstFindNodeToDelete. Он вызывает метод bstFindItem, чтобы найти элемент, который требуется удалить (естественно, если он не найден, генерируется ошибка), а затем проверяет, имеет ли найденный узел два дочерних узла. Если имеет, мы ищем узел с наибольшим элементом, который меньше удаляемого элемента. Мы меняем местами элементы в узлах и возвращаем второй элемент.

Как обычно, дерево бинарного поиска будет реализовано в виде класса, хотя хотелось бы еще раз предупредить, что его следует использовать только в том случае, если есть уверенность, что вставляемые элементы являются в достаточной степени случайными или их количество достаточно мало, чтобы дерево не выродилось в длинную вытянутую структуру. Основное назначение класса дерева бинарного поиска - попытка сокрытия от пользователя внутренней структуры дерева. Это означает, что пользователь должен иметь возможность использовать класс для поддержания набора элементов в отсортированном порядке и выполнения их обхода без необходимости знания структуры внутренних узлов.