Компьютерра - Журнал «Компьютерра» № 33 от 11 сентября 2007 года

– это "самое большое натуральное число". Оно и выбирается в качестве основания новой системы исчисления. Ну а дальше – точно так же, как мы записываем числа в десятичной системе, а компьютер в двоичной, произвольные бесконечно малые и бесконечно большие числа представляют собой «записи» (records) вида:

(1)

В этой записи p – «гросстепени», а c – «гроссцифры». Отличие от десятичной или двоичной систем в том, что «гроссцифры» не фиксированные заранее, а произвольные «обыкновенные» числа, записываемые с помощью конечного числа знаков. «Гросстепени», в свою очередь, это либо записи вида (1), либо снова «обыкновенные» конечные числа. Таким образом, числа в форме (1) всегда представляются конечным числом символов. Конечность записи принципиальна для этой конструкции, подчеркивает Сергеев, – она призвана учесть тот факт, что и человек, и компьютер способны выполнить лишь конечное число операций. В этом, кстати, существенное отличие от нестандартного анализа, который дополняет бесконечностями обычное множество вещественных чисел, построенное с помощью бесконечных десятичных дробей (или эквивалентных конструкций).

Сергеев с самого начала оставляет за скобками своих построений понятия счетного и несчетного множеств, взаимно однозначные соответствия и тому подобные базовые концепции привычной канторовской теории множеств. В его числовой системе, опять-таки в прямом и буквальном смысле слова, соблюдается древний постулат "часть всегда меньше целого". Например, число

+ 1 строго больше числа

, а множество натуральных чисел можно расширить так:

Записи вида (1) позволяют очень аккуратно сравнивать "маленькие бесконечности". Например, в обычной теории множеств совокупность всех натуральных чисел и совокупность четных положительных чисел неразличимы по так называемой мощности, и то и другое – счетные множества. Здесь же постулируется, что второе из этих множеств содержит ровно

/2 элементов, то есть вдвое меньше, чем первое. Аналогично, множество всех положительных чисел вида, например, (6К+3) будет состоять из (

/6) элементов; а если к нему добавить еще три числа другого вида, полученное множество будет состоять уже из (

/6 + 3) элементов.

1/

– простейшее по записи бесконечно малое ("инфинитезимальное") число. Арифметика записей (1) устроена самым естественным образом – они перемножаются и складываются так, как если бы вместо

стояло обыкновенное число. Тонкости начинаются при суммировании бесконечных рядов. Согласно одному из самых интересных постулатов теории Сергеева, любой процесс (в том числе и процесс суммирования ряда) может включать не более чем

шагов. В частности, параллельные процессы в этой модели принципиально более мощны, чем одиночные, последовательные, – ведь К параллельно идущих процессов позволяют выполнить (К*

) шагов. В этом же постулате о процессах скрыта и очевидная связь рассматриваемой модели с аксиомой выбора – источником множества трудностей и, в частности, «виновницей» парадокса Банаха-Тарского. Можно осторожно предположить, что настоящие теоретические трудности в согласовании концепций Сергеева с остальной математикой относятся именно к этим вопросам – но мы в них углубляться, разумеется, не будем. Во всяком случае, парадокс Банаха-Тарского в теории Сергеева не возникает – дело в том, что точки, из которых состоят шары, в данном случае можно просто пересчитать, выразив их количество соответствующей записью вида (1), и это не позволяет выполнять трюки с производством предметов из ничего.

Чуть позже мы приведем примеры прямого подсчета точек во фрактальных объектах, а пока черкнем еще пару формул. В любое выражение мы теперь можем подставлять не только конечные, но и бесконечные числа – и приписать вполне определенные значения как "стремящимся к бесконечности" в традиционном смысле слова рядам и функциям, так и рядам, которые вообще не имеют традиционного предела. Например, предел