Грег Иган - Лестница Шильда

a = k(y 0z 1— z 0y 1, z 0x 1- x 0z 1, x 0y 1- y 0x 1)

и k — параметр кривизны. Это значит, что параллельный перенос по квадратной петле с ребром € в одной из координатных плоскостей поворачивает векторы вокруг остальных координатных осей на угол

Θ loop= 2€ 2k.

Эффект голономии для частицы с общим спином j определяется унитарной матрицей U j . Ее можно получить, использовав соответствующее представление SU(2) - гомоморфизм из группы SU (2) в группу унитарных линейных операторов на гильбертовом пространстве, содержащем спиновое состояние частицы. [127]

Апплет вычисляет эти матрицы по комбинаторной формуле, основанной на погружении j -спинового представления в 2j -мерное тензорное произведение более фундаментального представления (со спином 1/2). Каждому ребру приписывается амплитуда, зависящая от значения т в начале и конце ребра:

a cdge(m s, m c) = [jm c|U j(R)|jm s]

Для любого вращения RU j(R) действует на дуальные векторы так, что

U j*(R)|jm| = |jm|U j(R) -1

Спиновые состояния в узле со входящими в него ребрами обозначаются j 1,j 2 , а спиновое состояние на исходящем ребре обозначается как j 3. Их можно сравнить посредством линейной карты С между тензорным произведением гильбертовых пространств входящих частиц и исходящей частицы. Узловая амплитуда равна:

a node(m 1, m 2, m 3) = [j 3m 3|C(|j 1m 1] × |j 2m 2])

Карта С нужна, чтобы эффекты произвольного вращения R коммутировали между собой:

C(U j1(R)|j 1m 1]×U j2(R)j 2m 2]) = U j3(R)C(j 1m 1]×|j 2m 2])

При этом амплитуда останется неизменной, если каждое спиновое состояние узла подвергнуть одинаковому вращению:

a node(m 1, m 2, m 3) = (U j3(R)[j 3m 3|)C(U j1(R)|j 1m 1]×U j2(R)j 2m 2]) =

= [j 3m 3|U j3 -1(R)U j3(R)C(j 1m 1]×|j 2m 2]) = j 3m 3|C(|j 1m 1× |j 2m 2])

Требуя, чтобы С удовлетворила предыдущему уравнению коммутации, легко рассчитать ее для общего спинового числа. А именно, координаты С представляют собой коэффициенты Клебша-Гордана, которыми даются амплитуды двухчастичного состояния для разных значений общего спина.

Теперь, перемножая все узловые амплитуды и все амплитуды на ребрах, а также суммируя произведения по всем значениям т в начальной и конечной точках ребра, а также учитывая требование равенства коэффициентов Клебша-Гордана нулю для всех случаев, кроме Σ m-edgesm = m out-edge , можнопостроить полную спиновую сеть.

Первоначально я использовал менее очевидный способ. Вышеизложенная схема подсказана мне Дэном Кристенсеном ( Dan Christensen ), которому я очень благодарен.

На языке теории групп можно назвать карту С сплетением двух представлений группы U (2) — того, что отвечает входящим ребрам, и того, что соответствует исходящему ребру. В КТП вообще и квантовой гравитации в частности используются спиновые сети, ребра которых помечены неприводимыми представлениями любой группы G , узлы — сплетениями представлений, а спиновая сеть определяется следом тензора (большого и толстого :-D ), образуемого перемножением сплетений и линейных карт представлений с учетом голономий, диктуемых геометрией (или фоновыми полями) для каждого ребра. Для дальнейшего ознакомления с предметом, помимо {1} и {2}, рекомендую работу Джона Баэза Spin Networks in Nonperturbative Quantum Gravity http: //www. arxiv. org/abs/gr-qc/9504036 .

Хорошая подборка ссылок на статьи по спиновым сетям и теории спиновой пены собрана у Дэна Кристенсена на сайте http :// jdc . math . two . ca / sp in - foams .

[Страничка эта последнее время не обновляется, но многие ссылки актуальны. Доступный начинающим обзор публикаций, вышедших после написания «Лестницы Шильда», можно почерпнуть в лекциях по квантовой гравитации, прочитанных Ли Смолиным в 2011 г. на Закопанской конференции: http: //arxiv.org/ abs /1102. 3660 v 5 ].

За десять лет, минувших после выхода в свет «Лестницы Шильда», в петлевой квантовой гравитации и геометрической физике наметился определенный прогресс в исследованиях пространств с множественными взаимодействующими вакуумными состояниями и влияния декогеренции на космологические процессы в крупномасштабной структуре Вселенной. Многие предсказания и гипотезы, сформулированные Иганом, в этих работах нашли превосходное подтверждение.