Эдвин Эбботт - Флатландия. Сферландия

Наглядные геометрические изображения широко используются в науке и других областях человеческой деятельности. Чертежи и фотографии находят широкое применение в технике. Ни один архитектор не приступит к возведению здания, не составив предварительно его чертежи. В математике возможность наглядно представить кривую, описываемую алгебраическим уравнением, также намного упрощает рассуждения.

До Декарта алгебру и геометрию считали различными математическими дисциплинами, никак не связанными между собой. Однако Декарт обнаружил, что алгебраические уравнения с двумя и тремя неизвестными удобно изображать в виде геометрических фигур. Рассмотрим метод Декарта на простом примере. Из элементарной алгебры известно, что в одном уравнении с двумя неизвестными, например в уравнении у = x ² − 2х + 2, переменной x мы можем придавать любые значения. Подставив выбранное нами значение x в уравнение, мы найдем соответствующее ему значение неизвестной у. Например, если x = 1, то у = 1. Нетрудно проверить, что пары значений x = 2, у = 2; x = 3, у = 5; x = 4, у = 10; x = 5, у = 17 и т. д. также удовлетворяют уравнению. Чтобы представить себе уравнение у = x ² − 2 x + 2 наглядно, проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые. Эти прямые называются осями координат. От точки пересечения осей вдоль оси мы будем откладывать расстояния, равные в соответствующих единицах интересующему нас значению x, а по другой оси — расстояния, равные в соответствующих единицах значениям у. На рис. 1 правые концы отрезков, отложенных по оси x, обозначены буквами а, b, с, d и e , а верхние концы отрезков, отложенные вдоль оси у, — буквами а', b', с', d' и e'. Точки (а, а'), (b, b'), (с, с'), (d, d') и (е, е') называются точками кривой, описываемой уравнением у = x ² − 2 x + 2. Придавая переменной x значения, отстоящие друг от друга на сколь угодно малую величину, мы сможем нарисовать довольно подробный «портрет» нашей кривой. На рис. 2 показан отрезок кривой, описываемой уравнением у = x ² − 2 x + 2, который соответствует значениям x, заключенным в интервале от 0 до 5.

Возможно, что кому-нибудь график кривой покажется столь же мало понятным, как и описывающие кривую уравнения. Неспециалист, взглянув на чертеж, изображающий какой-нибудь предмет, увидит лишь хаотическое переплетение линий, в то время как опытному чертежнику или механику достаточно одного взгляда на чертеж, чтобы получить полное представление об устройстве предмета. Математик, взглянув на график, получает весьма точное представление о свойствах уравнения, описывающего соответствующую кривую.

Иногда у инженера или математика возникает необходимость наглядно изобразить алгебраическое уравнение, содержащее три неизвестных, например уравнение x + у + z = 10. Рассуждая по аналогии с уравнением, содержащим два неизвестных, мы можем получать значения z, соответствующие заданным значениям неизвестных x и у. Однако значения переменной z нельзя изобразить на одной плоскости со значениями переменных x и у. Нам необходимо иметь третью ось, ось z, вдоль которой мы будем откладывать значения z, и эта ось должна быть перпендикулярна осям x и у и проходить через точку их пересечения. Введя ось z , мы сможем изобразить наглядно уравнение с тремя переменными так же, как ранее мы изображали уравнение с двумя переменными. Придавая произвольные значения переменным x и у, мы будем вычислять соответствующее им значение переменной z и откладывать все три значения x, у и z , удовлетворяющие уравнению, вдоль соответствующих осей.

Наглядное представление уравнений с двумя и тремя неизвестными настолько помогает в решении трудных задач, что математик склонен интерпретировать аналогичным образом уравнение с четырьмя переменными, которые иногда встречаются в различных физических задачах. Для того чтобы наглядно изобразить уравнение вида x + y + z + w = 16, нам необходимо иметь четвертую ось, ось w , вдоль которой мы сможем откладывать значения переменной w . Такая ось должна быть перпендикулярна осям x, у и z в точке их пересечения. Дойдя в своих рассуждениях до этого места, математики обнаруживают, что зашли в тупик, ибо не могут построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке. Это ограничительное свойство нашего пространства не позволяет математикам наглядно изображать уравнения с четырьмя переменными так же, как они изображали уравнения с двумя и тремя переменными, но это отнюдь не мешает им продолжать изучение уравнений с четырьмя неизвестными.