Грег Иган - Стрелы Времени

v → g × v / h

Так, поворот, меняющий местами Север и Юг, а также Будущее и Прошлое, оставляя неизменными все векторы, перпендикулярные этой четверке, можно описать с помощью пары g = Юг, h = Север. Как доказать, что эта операция действительно является поворотом? Во-первых, она, как легко убедиться, не меняет длину вектора v , поскольку | g | = | h | = | h -1 | = 1 и

| g × v / h | = | g || v || h -1 | = | v |

Кроме того, мы можем выяснить, как та же самая операция, примененная к двум векторам, влияет на угол между ними, применив ее к v × w * :

v → g × v / h

w → g × w / h

v × w * → ( g × v / h ) × ( g × w / h ) * =

= g × v × h -1× ( g × w × h -1 ) * =

= g × v × h -1× h × w *× g -1 =

= g × ( v × w * ) × g -1

Поскольку g × Будущее / g = Будущее, то эта операция не меняет проекцию на вектор Будущее. А так как данная проекция определяет угол между v и w – вместе с их длинами, которые, как нам уже известно, остаются неизменными, – то неизменным остается и этот угол.

Все повороты, ограниченные тремя пространственными измерениями, можно описать как частный случай исходной формулы, положив в ней h = g :

v → g × v / g

Например, повороту на 180 0в горизонтальной (Север-Восток) плоскости соответствует g = Верх.

Два других особых случая вращения достигаются при h = Будущее, то есть умножении слева на g :

v → g × v

и g = Будущее, при котором поворот сводится к делению на h :

v → v / h

Обе операции всегда осуществляют поворот сразу в двух ортогональных плоскостях – причем на один и тот же угол. Например, при умножении слева на Восток происходит поворот на 90 0как в плоскости Будущее-Восток, так и в плоскости Север-Верх.

Рассмотрим поворот, который описывается величинами g и h , преобразующими векторы в соответствии со стандартной формулой:

v → g × v / h

Существуют еще две разновидности геометрических объектов, которые описываются с помощью кватернионов, но при этом не являются векторами, поскольку при том же самом повороте подчиняются другим правилам преобразования:

l → g × l

r → h × r

Эти любопытные объекты называются «спинорами»: l – «левым», а r – «правым». В нашем мире математика спиноров не так проста, как в случае Ортогональной Вселенной , но обе математические системы, тем не менее, довольно похожи, а спиноры и в той, и в другой Вселенной играют ключевую роль при описании поведения некоторых фундаментальных частиц в процессе поворота.

Слово «когерер» в данном случае используется не в своем обычном понимании (разновидность резистора с переменным сопротивлением). Судя по всему, речь идет об источнике когерентного излучения – другими словами, это местный аналог лазера – прим. пер.